k3ryaku

　A = ( 10ⁿ-1)・a_n + ( 10^n-1-1)・a_n-1 + - - - + ( 10²-1)・a₂ + ( 10¹-1)・a₁　と置く。

　ここで右辺　第 1項を変形して
　( 10ⁿ-1)・a_n = ( 10ⁿ-10^n-1+10^n-1-10^n-2+10^n-2 + - - - + 10³-10²+10²-10¹+10¹ -1 )・a_n
　　　　　　　　 = ( 10・10^n-1-10^n-1+10・10^n-2-10^n-2+10・10^n-3-10^n-3
　　　　　　　　　 + - - - + 10・10²-10²+10・10¹-10¹+10・10⁰ -1 )・a_n
　　　　　　　　 = { ( 10・10^n-1-10^n-1)+(10・10^n-2-10^n-2)+(10・10^n-3-10^n-3 )
　　　　　　　　　 + - - - + ( 10・10²-10²)+(10・10¹-10¹)+(10・10⁰ -10⁰ ) }・a_n
　　　　　　　　 = ( 9・10^n-1+ 9・10^n-2+ 9・10^n-3 + - - - + 9・10²+ 9・10¹+ 9・10⁰ ) ・a_n
　　　　　　　　 = 9・( 10^n-1+ 10^n-2+ 10^n-3 + - - - + 10²+ 10¹+ 10⁰ ) ・a_n

　同様にして第 2項以降は
　( 10^n-1-1)・a_n-1 = 9・( 10^n-2+ 10^n-3 + 10^n-4 + - - - + 10²+ 10¹+ 10⁰ ) ・a_n-1
　　　　　　　　 l
　　　　　　　　 l
　( 10²-1)・a₂ = 9・( 10¹+ 10⁰ ) ・a₂
　( 10¹-1)・a₁ = 9・10⁰・a₁

　∴ A = 9・( 10^n-1+ 10^n-2+ 10^n-3 + - - - + 10²+ 10¹+ 10⁰ ) ・a_n
　　　　 + 9・( 10^n-2+ 10^n-3 + 10^n-4 + - - - + 10²+ 10¹+ 10⁰ ) ・a_n-1
　　　　 + - - - + 9・( 10¹+ 10⁰ ) ・a₂ + 9・10⁰・a₁
　　　= 9・ { 10^n-1 ・a_n+ 10^n-2・ ( a_n+ a_n-1 )+ 10^n-3・ ( a_n+ a_n-1+ a_n-2 )
　　　　 + - - - + 10¹・ ( a_n+ a_n-1 + - - - +a₂ )+ 10⁰・ ( a_n+ a_n-1 + - - - +a₂+a₁ ) }