不等式の証明 LEVEL-T 不等式の証明に入る前に、まず、2X+3≧5 を解いてください。X≧1 となります。実に簡単です。 しかし、ここで 「X≧1のとき、2X+3≧5 となることを示せ」 と 尋ねられたら、どう対処しますか? 出題者は、計算は要求していません。 つまり、計算して解答しても得点にはならないということです。 不等式の証明で大切なことは,過程と結論を同時に利用しないことです。 「このような事実があるからこうなる」ことを明確に示すことが必要です。 この例題では、不等式の性質を利用してもよいが、一次関数に関連付けて証 明するのがよい。(X≧1はXの最小値が1であることにもなる。 |
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解答例 |
X | 3 | −Y | 3 | =(X−Y)(X | 2 | +XY+Y | 2 | ) |
ここで、X>YなのでX−Y>0‥‥@ |
また、 X | 2 |
+XY+Y | 2 |
= | ( | X+ | Y 2 |
) | 2 |
+ | 3 4 |
Y | 2 |
≧0 (∵実数の平方) |
X=Y=0 のときに限られる。 しかし、X=Y=0は、条件 X>Y を満たさないので |
X | 2 | +XY+Y | 2 | >0‥‥A となる。 |
@、Aより X>Y のとき X | 3 | >Y | 3 | は成り立つ。 |
本問題のここがPOINT |
・不等式X | 2 | +XY+Y | 2 | ≧0 から等号不成立をどのように示すか? |
等号成立条件から矛盾を引き出している考え方が大切です。 不等式の証明では必ず、等号成立条件を考えるようにして下さい。 (このようなことを考えていくことが、物事を論理的に考える能力を育てます) 別解‥‥数学Uの範囲 |
f(X)=X | 3 | を考える。f'(X)=3X | 2 | ≧0 であるからf(X)=X | 3 | は単調 |
増加であるから、X>Y のとき X | 3 | >Y | 3 | は成り立つ |
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