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| 不等式の証明 LEVEL-Ⅰ 不等式の証明に入る前に、まず、２Ｘ＋３≧５ を解いてください。Ｘ≧１ となります。実に簡単です。 しかし、ここで 「Ｘ≧１のとき、２Ｘ＋３≧５ となることを示せ」 と 尋ねられたら、どう対処しますか？ 出題者は、計算は要求していません。 つまり、計算して解答しても得点にはならないということです。 不等式の証明で大切なことは，過程と結論を同時に利用しないことです。 「このような事実があるからこうなる」ことを明確に示すことが必要です。 この例題では、不等式の性質を利用してもよいが、一次関数に関連付けて証 明するのがよい。(Ｘ≧１はＸの最小値が１であることにもなる。 |
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| 解答例 |
| Ｘ | 3 | －Ｙ | 3 | ＝(Ｘ－Ｙ)(Ｘ | 2 | ＋ＸＹ＋Ｙ | 2 | ) |
| ここで、Ｘ＞ＹなのでＸ－Ｙ＞０‥‥① |
| また、 Ｘ | 2 |
＋ＸＹ＋Ｙ | 2 |
＝ | （ | Ｘ＋ | Ｙ ２ |
） | 2 |
＋ | ３ ４ |
Ｙ | 2 |
≧０ (∵実数の平方) |
| Ｘ＝Ｙ＝０ のときに限られる。 しかし、Ｘ＝Ｙ＝０は、条件 Ｘ＞Ｙ を満たさないので |
| Ｘ | 2 | ＋ＸＹ＋Ｙ | 2 | ＞０‥‥② となる。 |
| ①、②より Ｘ＞Ｙ のとき Ｘ | 3 | ＞Ｙ | 3 | は成り立つ。 |
本問題のここがＰＯＩＮＴ |
| ・不等式Ｘ | 2 | ＋ＸＹ＋Ｙ | 2 | ≧０ から等号不成立をどのように示すか？ |
| 等号成立条件から矛盾を引き出している考え方が大切です。 不等式の証明では必ず、等号成立条件を考えるようにして下さい。 (このようなことを考えていくことが、物事を論理的に考える能力を育てます) 別解‥‥数学Ⅱの範囲 |
| ｆ(Ｘ)＝Ｘ | 3 | を考える。ｆ'(Ｘ)＝３Ｘ | 2 | ≧０ であるからｆ(Ｘ)＝Ｘ | 3 | は単調 |
| 増加であるから、Ｘ＞Ｙ のとき Ｘ | 3 | ＞Ｙ | 3 | は成り立つ |
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