99山形大学・医(医)の入試問題より
　
実数 ａ，ｂ (ａｂ≠０)，Ｘ，Ｙ について、次の問いに答えよ。
（１）　Ａ＝(ａ＋ｂ)(ａＸ 2 ＋ｂＹ 2 )，Ｂ＝(ａＸ＋ｂＹ) 2 ，の大小を比較せよ。
（２）　Ｃ＝(ａＸ＋ｂＹ)(ａＹ＋ｂＸ)，Ｄ＝(ａ＋ｂ) 2 ＸＹ，の大小を比較せよ。
（３）　ａ＞０，ｂ＞０，Ｘ＞０，Ｙ＞０ のとき　

　　　　　　　Ｅ＝

，Ｆ＝

 ａＸ＋ｂＹ
　ａ＋ｂ

，Ｇ＝

 (ａ＋ｂ)ＸＹ
,ａＹ＋ｂＸ 		　の３つの実数の大小を比較せよ。

　

解答例
（１）　Ａ－Ｂ＝{(ａ＋ｂ)ａ－ａ 2 }Ｘ 2 －２ａｂＸＹ＋{(ａ＋ｂ)ｂ－ｂ 2 }Ｙ 2 　　(⇒参照Ⅰ)
　　　　　　　＝ａｂ(Ｘ 2 －２ＸＹ＋Ｙ 2 )
　　　　　　　＝ａｂ(Ｘ－Ｙ) 2
　　　　　　　ここで、Ｘ，Ｙは実数なので　(Ｘ－Ｙ) 2 ≧０　である。ａｂ≠０　なので
　　　　　　　よって、ａｂ＞０　のとき　Ａ≧Ｂ　(等号はＸ＝Ｙのとき成立)
　　 　 　　 　　　　　 ａｂ＜０　のとき　Ａ≦Ｂ　(等号はＸ＝Ｙのとき成立)
（２）　Ｃ－Ｄ＝(ａＸ＋ｂＹ)(ａＹ＋ｂＸ)－(ａ＋ｂ) 2 ＸＹ
　　　　　　　＝ａｂＸ 2 ＋{(ａ 2 ＋ｂ 2 －(ａ＋ｂ) 2 }ＸＹ＋ａｂＹ 2 　　(⇒参照Ⅰ)
　　　　　　　＝ａｂ(Ｘ－Ｙ) 2 2
　　　　　　　ここで、Ｘ，Ｙは実数なので　(Ｘ－Ｙ) 2 ≧０　である。ａｂ≠０　なので
　　　　　　　よって、ａｂ＞０　のとき　Ｃ≧Ｄ　(等号はＸ＝Ｙのとき成立)
　　 　 　　 　　　　　 ａｂ＜０　のとき　Ｃ≦Ｄ　(等号はＸ＝Ｙのとき成立)
（３）　Ｅ 2

 －Ｆ 2

 ＝ －( ａＸ＋ｂＹ
　ａ＋ｂ		 ) 2

 ＝ 　　１　　
(ａ＋ｂ) 2
(Ａ－Ｂ)
　　　　Ｆ－Ｇ＝ 　　　　　１　　　 　
(ａ＋ｂ)(ａＹ＋ｂＸ)		 (Ｃ－Ｄ)
　　　　ここで、ａ，ｂ，Ｘ，Ｙ　はすべて正なので　(ａ＋ｂ) 2 と (ａ＋ｂ)(ａＹ＋ｂＸ) も正である。
　　　　　　　　また、（1）,（２） より　Ａ－Ｂ≧０，Ｃ－Ｄ≧０　であるから　Ｅ 2 ≧Ｆ 2 ，Ｆ≧Ｇ　が成立。
　　　　　　　　Ｅ、Ｆはともに正なので、Ｅ≧Ｆ≧Ｇ　である。(等号はＸ＝Ｙのとき成立)