実数 a,b (ab≠0),X,Y
について、次の問いに答えよ。 |
(1) A=(a+b)(aX |
2 |
+bY |
2 |
),B=(aX+bY) |
2 |
,の大小を比較せよ。 |
(2) C=(aX+bY)(aY+bX),D=(a+b) |
2 |
XY,の大小を比較せよ。 |
E=
|
![](98001.gif) |
,F=
|
aX+bY
a+b |
,G=
|
(a+b)XY
,aY+bX
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の3つの実数の大小を比較せよ。 |
(1) A−B={(a+b)a−a |
2 |
}X |
2 |
−2abXY+{(a+b)b−b |
2 |
}Y |
2 |
(⇒参照T) |
ここで、X,Yは実数なので (X−Y) |
2 |
≧0 である。ab≠0 なので |
よって、ab>0 のとき A≧B (等号はX=Yのとき成立)
ab<0 のとき A≦B (等号はX=Yのとき成立) |
(2) C−D=(aX+bY)(aY+bX)−(a+b) |
2 |
XY |
=abX |
2 |
+{(a |
2 |
+b |
2 |
−(a+b) |
2 |
}XY+abY |
2 |
(⇒参照T) |
ここで、X,Yは実数なので (X−Y) |
2 |
≧0 である。ab≠0 なので |
よって、ab>0 のとき C≧D (等号はX=Yのとき成立)
ab<0 のとき C≦D (等号はX=Yのとき成立) |
(3) E |
2
|
−F |
2
|
= |
![](ax2by2.gif) |
−( |
aX+bY
a+b |
) |
2
|
= |
1
|
(A−B) |
F−G= |
1
(a+b)(aY+bX) |
(C−D) |
ここで、a,b,X,Y はすべて正なので (a+b) |
2 |
と (a+b)(aY+bX)
も正である。 |
また、(1),(2)
より A−B≧0,C−D≧0 であるから E |
2 |
≧F |
2 |
,F≧G が成立。 |
E、Fはともに正なので、E≧F≧G である。(等号はX=Yのとき成立) |
|