二項定理と応用



例題1　（Ｘ−１） 4 （X＋２） 3 の展開式における、Ｘ 5 の係数を求めよ。
解答例
　　　　Ｘ 5 ＝１・Ｘ 5 ＝Ｘ・Ｘ 4 ＝Ｘ 2 ・Ｘ 3 （逆もある）　となる次数を考えればよい。
　 Ｘの係数
Ｘ 2 の係数
Ｘ 3 の係数
Ｘ 4 の係数
（Ｘ−１） 4
− 4 Ｃ 1
　　　4 Ｃ 2
　− 4 Ｃ 3
　　　4 Ｃ 4
（Ｘ＋２） 3
４ 3 Ｃ 1
　２ 3 Ｃ 2
　　　3 Ｃ 3

なし
　　　上の表より求める係数は、
　　　4 Ｃ 2 ・ 3 Ｃ 3 − 4 Ｃ 3 ・２ 3 Ｃ 1 ＋ 4 Ｃ 4 ・４ 3 Ｃ 3 ＝−１４


例題2　次の等式を証明せよ。
　（１） 　　n Ｃ 1 ＋２ n Ｃ 2 ＋３ n Ｃ 3 ＋・・・・・＋ｎ n Ｃ n ＝ｎ２ n-1
　（２） 　　　
n		 Ｃ
0		 − １
２
n		 Ｃ
1		 ＋ １
３
n		 Ｃ
2		 −・・・・・＋（−１） n

 　１　.
ｎ＋１
n		 Ｃ
n		 ＝ 　１　.
ｎ＋１
解答例
　（１） 　（１＋Ｘ） n ＝ n Ｃ 0 ＋ n Ｃ 1 Ｘ＋ n Ｃ 2 Ｘ 2 ＋ n Ｃ 3 Ｘ 3 ＋・・・・・＋ n Ｃ n Ｘ n
　　　　　　この等式で次数を下げると
　　　　（１＋Ｘ） n-1 ＝ n-1 Ｃ 0 ＋ n-1 Ｃ 1 Ｘ＋ n-1 Ｃ 2 Ｘ 2 ＋ n-1 Ｃ 3 Ｘ 3 ＋・・・・・＋ n-1 Ｃ n-1 Ｘ n-1 ・・・（ア）
　　　　左辺の一般項＝ｋ
n		 Ｃ
k		 ＝ｋ 　　　 ｎ！　 　.
（ｎ−ｋ）！ｋ！		 ＝ｎ 　　　 （ｎ−１）！　 　.
（ｎ−ｋ）！（ｋ−１）！		 ＝ｎ
n-1		 Ｃ
k-1		 　　なので、
　　　　与式の左辺＝ｎ（ n-1 Ｃ 0 ＋ n-1 Ｃ 1 ＋ n-1 Ｃ 2 ＋・・・・・＋ n-1 Ｃ n-1 ）
　　　　　　ここで、（ア）において、ｘ＝１　とすると
　　　　　　　　　　　. n-1 Ｃ 0 ＋ n-1 Ｃ 1 ＋ n-1 Ｃ 2 ＋・・・・・＋ n-1 Ｃ n-1 ＝２ n-1
　　　　　　　　　　よって与式は成り立つ。


（２） 　　１
　　ｋ
n		 Ｃ
k-1		 ＝ １
ｋ		 ・ 　　　 　　 ｎ！ 　　　　　.
(ｋ−１)！（ｎ−ｋ＋１）！		 ＝ 　１　.
ｎ＋１		 ・ 　　　(ｎ＋１)！　　.
ｋ！（ｎ＋１−ｋ）！		 ＝ 　１　.
ｎ＋１
n+1		 Ｃ
ｋ		 　　より
　　　　与式の左辺＝ 　１　.
ｎ＋１		 （
n+1		 Ｃ
1		 −
n+1		 Ｃ
2		 ＋
n+1		 Ｃ
3		 −・・・・・＋（−１） n
n+1		 Ｃ
n+1		 ）
　　　　　（１）と同様に
　　　　（１＋Ｘ） n+1 ＝ n+1 Ｃ 0 ＋ n+1 Ｃ 1 Ｘ＋ n+1 Ｃ 2 Ｘ 2 ＋ n+1 Ｃ 3 Ｘ 3 ＋・・・・・＋ n+1 Ｃ n+1 Ｘ n+1 ・・・（イ)
　　　　　　（イ)　において、Ｘ＝−１　とすると
　　　　　　０＝ n+1 Ｃ 0 − n+1 Ｃ 1 ＋ n+1 Ｃ 2 − n+1 Ｃ 3 ＋・・・・・＋（−１） n+1 n+1 Ｃ n+1 　　より
　　　　　　n+1 Ｃ 0 ＝ n+1 Ｃ 1 − n+1 Ｃ 2 ＋ n+1 Ｃ 3 −・・・・・＋（−１） n n+1 Ｃ n+1 　　となる。
　　　　　　ここで　　n+1 Ｃ 0 ＝１　　であるから、与式は成り立つ。


別解（一般的にはこの解法のほうがやり易い。）

（１）　　　（１＋Ｘ） n ＝ n Ｃ 0 ＋ n Ｃ 1 Ｘ＋ n Ｃ 2 Ｘ 2 ＋ n Ｃ 3 Ｘ 3 ＋・・・・・＋ n Ｃ n Ｘ n
　　　　　　この両辺を Ｘ で微分する。
　　　　　　　　ｎ（１＋Ｘ） n-1 ＝ n Ｃ 1 ＋２ n Ｃ 2 Ｘ ＋３ n Ｃ 3 Ｘ 2 ＋・・・・・＋ｎ n Ｃ n Ｘ n-1
　　　　　　ここで、Ｘ＝１　を代入すると 　　n Ｃ 1 ＋２ n Ｃ 2 ＋３ n Ｃ 3 ＋・・・・・＋ｎ n Ｃ n ＝ｎ２ n-1
（２）　　　（１＋Ｘ） n ＝ n Ｃ 0 ＋ n Ｃ 1 Ｘ＋ n Ｃ 2 Ｘ 2 ＋ n Ｃ 3 Ｘ 3 ＋・・・・・＋ n Ｃ n Ｘ n
　　　　　　この両辺を区間　−１≦Ｘ≦０ で積分する。
　　　　　. 0

-1		 （１＋Ｘ） n

 dx ＝ 0

-1		 （
n		 Ｃ
0		 ＋
n		 Ｃ
1		 Ｘ＋
n		 Ｃ
2		 Ｘ 2

 ＋
n		 Ｃ
3		 Ｘ 3

 ＋・・・・・＋
n		 Ｃ
n		 Ｘ n

 ） dx
　　　　　　　これを計算すると、与式が得られる。