次のΣ計算をしなさい。
| （１） |
 |
１ .
ｋ（ｋ＋２） |
（２） |
|
ｋ−１ .
ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２） |
（３） |
|
ｋ−１
.
ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３） |
|
[分数は部分分数に分解・・・なんでもかんでも恒等式はよくありません。それなりの変形で簡単になります]
| （１） |
|
１ .
ｋ（ｋ＋２） |
＝ |
|
１
２ |
( |
１
ｋ |
− |
１ .
ｋ＋２ |
) |
＝ |
１
２ |
|
( |
１
ｋ |
− |
１ .
ｋ＋２ |
) |
| ＝ |
１
２ |
{( |
１＋ |
１
２ |
＋ |
１
３ |
＋・・・＋ |
１
ｎ |
) |
− |
( |
１
３ |
＋ |
１
４ |
＋・・・＋ |
１
ｎ |
＋ |
１ .
ｎ＋１ |
＋ |
１ .
ｎ＋２ |
)} |
| ＝ |
１
２ |
( |
１＋ |
１
２ |
− |
１ .
ｎ＋１ |
− |
１ .
ｎ＋２ |
) |
[
ここからの計算に工夫] |
| ＝ |
１
２ |
{( |
１− |
１
ｎ＋１ |
) |
＋ |
( |
１
２ |
− |
１ .
ｎ＋２ |
)} |
| ＝ |
１
２ |
( |
ｎ .
ｎ＋１ |
＋ |
ｎ .
２（ｎ＋２） |
) |
＝ |
ｎ（３ｎ＋５） .
４（ｎ＋１）（ｎ＋２） |
| （２） |
|
ｋ−１ .
ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２） |
＝ |
|
( |
１ .
（ｋ＋１）（ｋ＋２） |
− |
１ .
ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２） |
) |
|
＝ |
|
{( |
１ .
ｋ＋１ |
− |
１
ｋ＋２ |
)− |
１
２ |
( |
１ .
ｋ（ｋ＋１） |
− |
１ .
（ｋ＋１）（ｋ＋２） |
)} |
|
＝ |
( |
１
２ |
− |
１ .
ｎ＋２ |
)− |
１
２ |
( |
１
２ |
− |
１ .
（ｎ＋１）（ｎ＋２） |
) |
|
＝ |
１
４ |
− |
１
ｎ＋２ |
＋ |
１ .
２（ｎ＋１）（ｎ＋２） |
|
＝ |
１
４ |
− |
２ｎ＋２−１ .
２（ｎ＋１）（ｎ＋２） |
|
＝ |
（ｎ＋１）（ｎ＋２）−２（２ｎ＋１）
４（ｎ＋１）（ｎ＋２） |
| （３） |
|
ｋ−１
.
ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３） |
＝ |
|
( |
１ .
（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３） |
− |
１
.
ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３） |
) |
| ＝ |
１
２ |
|
( |
１ .
（ｋ＋１）（ｋ＋２） |
− |
１ .
（ｋ＋２）（ｋ＋３） |
) |
− |
１
３ |
|
( |
１ .
ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２） |
− |
１ .
（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３） |
) |
| ＝ |
１
２ |
( |
１
６ |
− |
１ .
（ｎ＋２）（ｎ＋３） |
) |
− |
１
３ |
( |
１
６ |
− |
１ .
（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３） |
) |
| ＝ |
１
２ |
・ |
（ｎ＋２）（ｎ＋３）−６
６（ｎ＋２）（ｎ＋３） |
) |
− |
１
３ |
・ |
（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）−６
６（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３） |
) |
| ＝ |
１
２ |
・ |
ｎ（ｎ＋５） .
６（ｎ＋２）（ｎ＋３） |
− |
１
３ |
・ |
 |
| ＝ |
ｎ
.
３６（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３） |
・ |
｛３（ｎ＋１）（ｎ＋５）−２（ｎ | 2
| ＋６ｎ＋１１）｝ |
| ＝ |
ｎ
（ｎ−１）（ｎ＋７） .
３６（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３） |
１，２，３，・・・，ｎ からなる
ｎ個の数列について次のものを求めよ。
（１） これら
ｎ個のなかから異なる２個を選んでその積をつくる。この積の総和を求めよ。
（２） これら
ｎ個のなかから異なる３個を選んでその積をつくる。この積の総和を求めよ。（やや難） |
| 解答例 |
（１） 求める和Ｓは、｛（１＋２＋３＋・・・＋ｎ） |
2 | −（１ |
2 | ＋２ |
2 | ＋３ |
2 |
＋・・・＋ｎ |
2 |
）｝÷２ と表せる。 |
| Ｓ＝ |
１
２ |
{ |
１
４ |
ｎ |
2
| （ｎ＋１） |
2
| − |
１
６ |
ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１） |
} |
| ＝ |
ｎ（ｎ＋１）
２４ |
{ |
３ｎ（ｎ＋１）−２（２ｎ＋１） |
} |
＝ |
ｎ（ｎ＋１）（ｎ−１）（３ｎ＋２）
２４ |
|
