・高校1年生(Ｘ＋ １
Ｘ		 )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　LEVEL-Ⅱ
　

本題に入る前にＹ＝Ｘ＋

 １
Ｘ		 　の知識が必要なので、この
関数について説明します。
　
このグラフは、Ｙ＝Ｘ とＹ＝ １
X		 　の二つのグラフを合成した
ものです。たとえば、いま Ｘ ＝３　とすると、それぞれの
Yの値は，３と１/３　になり , この二つの値を加えた値が
今, 考えようとしているグラフ上の点となる。このようにし
て調べていくと、左図の実線のグラフがてきる。
(正確には，数学Ⅲの微分を利用する必要がある。)
Ｘ＞０ の最小値だけなら 相加・相乗で十分だろう。
また、図ではＸ＞０ の範囲のみを描いているが、第Ⅲ象
限に、原点に関して対称にグラフが現れるのは、いうまで
もない。
問題Ⅱ　Ｘ 2

 ＋Ｘ＋ 　　　１ 　　.
Ｘ 2 ＋Ｘ＋２
の最小値と、そのときのＸを求めよ。
　 　
解答例 　
　 Ｘ 2

 ＋Ｘ＋２＝(Ｘ＋ １
２		 ) 2 ＋ ７
４		 ≧ ７
４		 ・・・①　　ここで、ｔ＝Ｘ 2

 ＋Ｘ＋２　とおく。
　　　　 ｔ≧ ７
４		 　において、Ｙ＝ｔ＋ 1
ｔ		 は単調増加である。
　　　 　よって　 ｔ＝ ７
４		 で、Ｙは最小値となる。つまり　Ｘ 2

 ＋Ｘ＋２＋ 　　　１　　 　.
Ｘ 2 ＋Ｘ＋２
≧ ７
４		 ＋ ４
７
　　　　　であるから、　Ｘ 2

 ＋Ｘ＋ 　　　１　　　 .
Ｘ 2 ＋Ｘ＋２
≧ ７
４		 ＋ ４
７		 －２＝ ２７
２８		 　となる。
　　　　　等号成立は、Ｘ 2

 ＋Ｘ＋２＝ ７
４		 のときだから、Ｘ＝－ １
２		 のとき、最小値 ２７
２８		 となる。
　
ここで、相加・相乗を利用するとどうなるだろうか？
　　　　　　　　Ｘ 2

 ＋Ｘ＋２＋ 　　　１　　　 .
Ｘ 2 ＋Ｘ＋２
≧ ＝２　となる。
　　　　　　　　ここで、等号成立は、Ｘ 2

 ＋Ｘ＋２＝ 　　　１　　　 .
Ｘ 2 ＋Ｘ＋２
　のときである。
　　　　　　　　これを解くと、Ｘ 2 ＋Ｘ＋２＝１，(－１)となり、条件①に適さない。
　　　　　　　　つまり、最小値が２となる実数Ｘが存在しないので、２は最小値ではない。
　　　　　　　　(実際に最後まで計算して、Ｘの値をだして、虚数になるから不適でもよい)
　　　　　　　　これで、最小値は存在しないとしてはいけない。(問題が最小値を要求して
　　　　　　　　いるから。最近の入試ではよほどのこと(出題ミスなど)がない限り解答不
　　　　　　　　能の問題はない)
　
　
相加平均≧相乗平均≧調和平均
　　　ａ＞０，ｂ＞０のとき不等式　 　となる。
　　　 　　　　　　　　　　　　興味のある人は、この証明に挑戦してください。→ ヒント