（３）　（２）と同様に、接点を、（ｔ，ｔ³−３ｔ²＋２ｔ） とおくと接線は、Ｙ＝（３ｔ²−６ｔ＋２）Ｘ−２ｔ³＋３ｔ²
　　　　となり、これが点（ａ，０）を通るので、（３ｔ²−６ｔ＋２）ａ−２ｔ³＋３ｔ²＝０　　
　　　　これを整理して、　　２ｔ³−３（ａ＋１）ｔ²＋６ａｔ−２ａ＝０　・・・［ア］　となる。
　　　　ここで、ｆ（ｔ）＝２ｔ³−３（ａ＋１）ｔ²＋６ａｔ−２ａ　とおいて、
　　　　　　　　 ｆ’（ｔ）＝６ｔ²−６（ａ＋１）ｔ＋６ａ＝６（ｔ−ａ）（ｔ−１）　　となるので
　　　　［�T］ａ≠１　のとき　ｔ＝ａ，１のそれぞれ一方で極大値と極小値となる。
　　　　　　　（�@）　ｆ（ａ）・ｆ（１）＝（−ａ³＋３ａ²−２ａ）・（ａ−１）＝−ａ（ａ−１）²（ａ−２）＜０
　　　　　　　　　　　−（ａ−１）²＜０　であることに注意して解くと　ａ＜０，２＜ａ
　　　　　　　　　　　この場合、極大値は正、極小値は負であるので方程式［ア］の解は３個となる。
　　　　　　　（�A）　ｆ（ａ）・ｆ（１）＝−ａ²（ａ−１）（ａ−２）＞０　→　０＜ａ＜１，１＜ａ＜２
　　　　　　　　　　　この場合、極大値と極小値は共に正か負であるので方程式［ア］の解は１個となる。
　　　　　　　（�B）　ｆ（ａ）・ｆ（１）＝−ａ²（ａ−１）（ａ−２）＝０　→　ａ＝０，２
　　　　　　　　　　　この場合、極大値と極小値の一方が０であるので方程式［ア］の解は２個となる。
　　　　［�U］ａ＝１　のとき　　ｆ’（ｔ）＝６（ｔ−１）²＞０　であるから、ｆ（ｔ）は単調増加
　　　　　　　　　　　この場合、方程式［ア］の解は１個となる。
　　　以上から、　　　 　　　ａ＜０，２＜ａ　のときは、３本の接線
　　　　　　　　　　　　　　 　　ａ＝０，１，２　のときは、２本の接線
　　　　　　　　　　 　０＜ａ＜１，１＜ａ＜２　のときは、１本の接線

（４）　（３）と同様に、接線　Ｙ＝（３ｔ²−６ｔ＋２）Ｘ−２ｔ³＋３ｔ²　が点（ａ，ｂ）を通るので、
　　　　　　　　　　　ｂ＝（３ｔ²−６ｔ＋２）ａ−２ｔ³＋３ｔ²　となる。
　　　　　　よって、　　２ｔ³−３（ａ＋１）ｔ²＋６ａｔ−２ａ＋ｂ＝０・・・［イ］　の実数解の個数を考えればよい。
　　　　　　この左辺＝ｇ（ｔ）　とおいて、ｇ’（ｔ）＝６ｔ²−６（ａ＋１）ｔ＋６ａ＝６（ｔ−ａ）（ｔ−１）　より
　　　　［�T］ａ≠１　のとき　ｔ＝ａ，１のそれぞれ一方で極大値と極小値となる。
　　　　　　　（�@）　ｇ（ａ）・ｇ（１）＝（−ａ³＋３ａ²−２ａ＋ｂ）・（ａ＋ｂ−１）＜０
　　　　　　　　　　　この場合、極大値は正、極小値は負であるので方程式［イ］の解は３個となる。
　　　　　　　（�A）　ｇ（ａ）・ｇ（１）＝（−ａ³＋３ａ²−２ａ＋ｂ）・（ａ＋ｂ−１）＞０　
　　　　　　　　　　　この場合、極大値と極小値は共に正か負であるので方程式［イ］の解は１個となる。
　　　　　　　（�B）　ｇ（ａ）・ｇ（１）＝（−ａ³＋３ａ²−２ａ＋ｂ）・（ａ＋ｂ−１）＝０　
　　　　　　　　　　　この場合、極大値と極小値の一方が０であるので方程式［イ］の解は２個となる。
　　　　［�U］ａ＝１　のとき　　ｇ’（ｔ）＝６（ｔ−１）²＞０　であるから、ｇ（ｔ）は単調増加
　　　　　　　　　　　この場合、方程式［イ］の解は１個となる。

不等式（−ａ3＋３ａ2−２ａ＋ｂ）・（ａ＋ｂ−１）＜０　が求める領域になる。 　　　　　　　　　　これを ｂ の二次不等式と考えると、 　ａ3−３ａ2＋２ａ＜−ａ＋１　の場合　ａ3−３ａ2＋２ａ＜ｂ＜−ａ＋１ 　ａ3−３ａ2＋２ａ＞−ａ＋１　の場合　−ａ＋１＜ｂ＜ａ3−３ａ2＋２ａ　　 となる。よって求める領域は右図になる。（境界は含まない） 　　ここで、ｂ＝−ａ＋１は三次関数の接線になっています。 　　（２つの関数ではさまれた領域 になると考えてください。 　　　結果的 にこのような領域 は曲線、直線だけを考えて、 　　　適当な点を代入して判断 します。）

　　　また、ここでは［イ］のような方程式にしたが、Ｙ＝ｂ，Ｙ＝（３ｔ²−６ｔ＋２）ａ−２ｔ³＋３ｔ²　
　　　の連立方程式と考えて、Ｙ＝ｂを平行移動してもよい。ただし、この解法は、極大極小
　　　をはっきり求める必要があるので、ａ＜１，ａ＞１ の場合分けが必要です。
　　　
　　　積で表された領域は、コツさえつかめば簡単で、しかも場合分けが必要ないので解答が
　　　すっきりします。（この解法を薦めます。）