次の等式を証明しなさい。 （１）　　 β α （Ｘ−α）（Ｘ−β）ｄＸ ＝− （β−α）3 　 ６ （２）　　 β α （Ｘ−α）（Ｘ−β）2ｄＸ ＝ （β−α）4 　 １２

積分の計算では、簡単になるような工夫が必要です。 （１）　　 β α （Ｘ−α）（Ｘ−β）ｄＸ ＝ β α （Ｘ−α）（Ｘ−α＋α−β）ｄＸ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ β α ｛（Ｘ−α）2＋（α−β）（Ｘ−α）｝ｄＸ 　　　（展開方法に注意） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ ［ １ ３ （Ｘ−α）3− １ ２ （β−α）（Ｘ−α）2 ］ β α 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ １ ３ （β−α）3− １ ２ （β−α）3 ＝− １ ６ （β−α）3 （２）　　 β α （Ｘ−α）（Ｘ−β）2ｄＸ ＝ β α （Ｘ−β＋β−α）（Ｘ−β）2ｄＸ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ β α ｛（Ｘ−β）3＋（β−α）（Ｘ−β）2｝ｄＸ 　　　（展開方法に注意） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ ［ １ ４ （Ｘ−β）4＋ １ ３ （α−β）（Ｘ−β）3 ］ β α 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝− １ ４ （α−β）4＋ １ ３ （α−β）4 ＝ （β−α）4 　1２ 　（（α−β）4＝（β−α）4に注意）

　　　　　　＊　座標軸の平行移動を用いても出来ます

次の積分を計算しなさい。　　 （１） β α （Ｘ−α）（Ｘ−β）3ｄＸ 　　　　　（２） β α （Ｘ−α）2（Ｘ−β）2ｄＸ

解答例（数学�Vの置換積分ですが、ここでは平行移動を用います。） （１）　Ｙ＝（Ｘ−α）（Ｘ−β）3 はＸ方向に−β 平行移動すると　Ｙ＝（Ｘ−α＋β）Ｘ3となる。 　　　　　よって　 β α （Ｘ−α）（Ｘ−β）3ｄＸ ＝ 0 α-β （Ｘ−α＋β）Ｘ3ｄＸ 　　　　　　　　　　　＝ ［ １ ５ Ｘ5 − １ ４ （α−β）Ｘ4 ］ 0 α-β ＝− １ ５ （α−β）Ｘ5 ＋ １ ４ （α−β）Ｘ5 ＝ （α−β）5 　 ２０ 　　　　　＊積分範囲に注意してください。 （２）　Ｙ＝（Ｘ−α）2（Ｘ−β）2 はＸ方向に−α 平行移動すると　Ｙ＝Ｘ2（Ｘ−β＋α）2となる。 　　　　　よって　 β α （Ｘ−α）2（Ｘ−β）2ｄＸ ＝ β-α 0 Ｘ2（Ｘ−β＋α）2ｄＸ 　　　　　　　　　　　＝ β-α 0 ( Ｘ4 − ２ （β−α）Ｘ3 ＋ （β−α）2Ｘ2 ) ｄＸ 　　　　　　　　　　　＝ ［ １ ５ Ｘ5 − ２ ４ （β−α）Ｘ4 ＋ １ ３ （β−α）2Ｘ3 ］ β-α 0 （α−β）5 　 ３０ 　　＊例題�T（１），（２）と例題�U（１），（２）の係数　 １ ６ ＝ 　１　. ２・３ ， 　１ １２ ＝ 　１　. ３・４ ， 　１ ２０ ＝ 　１　. ４・５ ， 　１ ３０ ＝ 　　２ 　. ３・４・５ 　　　　となっています。

次の積分を計算しなさい。 （１） 2 0 |Ｘ−１|ｄＸ 　　　　　（２） 2 0 |Ｘ−a|ｄＸ

（１）　ｆ（Ｘ）＝|Ｘ−１|　のグラフを考えて積分します。（グラフは省略しますので各自考えて下さい。） 　　　　　　　　Ｘ＜１　では　ｆ（Ｘ）＝−Ｘ＋１　　，　Ｘ≧１　では　ｆ（Ｘ）＝Ｘ−１ 　　　　　よって、 2 0 |Ｘ−１|ｄＸ ＝ 1 0 （−Ｘ＋１）ｄＸ ＋ 2 1 （Ｘ−１）ｄＸ ＝１ 　　　　　ここで、グラフの対称性を考えて、　２ 1 0 （−Ｘ＋１）ｄＸ 　または、 ２ 2 1 （Ｘ−１）ｄＸ 　　でもよい。 （２）　（１）と同様に　ｆ（Ｘ）＝|Ｘ−ａ|　のグラフを考えます。 　　　　�@）ａ＜０　の場合　 2 0 |Ｘ−ａ|ｄＸ ＝ 2 0 （Ｘ−ａ）ｄＸ ＝２−２ａ 　　　　�@）０＜ａ＜２　の場合　 2 0 |Ｘ−ａ|ｄＸ ＝ ａ 0 （−Ｘ＋ａ）ｄＸ ＝＋ 2 ａ （Ｘ−ａ）ｄＸ ２−２ａ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝− １ ２ ａ2＋ａ2＋４−２ａ− １ ２ ａ2＋ａ2＝ａ2−２ａ＋４ 　　　　�B）ａ＞２　の場合　 2 0 |Ｘ−ａ|ｄＸ ＝ 2 0 （−Ｘ＋ａ）ｄＸ ＝−２＋２ａ