例題１-1　　Ｘの方程式　　　ｌｏｇ p （Ｘ 2 −ａＸ）＝ｌｏｇ p ａ　・・・（＊）　が実数解を持つ ａ の範囲を求めよ｡
　　　　　　ただし、ａは正の数、ｐは１でない正の数である｡
解答例
　　　　真数＞０　であるのから　　Ｘ＜０，ａ＜Ｘ　　である。
　　　　この範囲にＸの方程式　Ｘ 2 −ａＸ＝ａ　　が少なくとも一つの実数解を持てばよい｡
このまま方程式の理論だけで解答すれば、実数解が１個の場合と
２個の場合について考える必要があります｡
グラフを利用すれば、場合分けの必要がありません｡
ａ＞０であるので　直線 Ｙ＝ａ は、放物線 Ｙ＝Ｘ 2 −ａＸ
の Ｘ＜０，ａ＜Ｘ の部分と交わります｡
　　よって求める解は、方程式　　Ｘ 2 −ａＸ＝ａ　　の解である｡
　　　　　Ｘ＝



例題1-2　　Ｘの不程式　　　ｌｏｇ p （Ｘ 2 −ａＸ）＞ｌｏｇ p ａ　・・・（＊）　　を解きなさい｡
　　　　　　ただし、ａは正の数、ｐは１でない正の数である｡

　　例題１−１と同じでグラフを利用します｡例題１−１の解の小さいほうをα、大きいほうをβとすると、

　　　０＜ｐ＜１　のとき　Ｘ 2 −ａＸ＜ａ　　より、　α＜Ｘ＜０，ａ＜Ｘ＜β
　　　　　１＜ｐ　のとき　Ｘ 2 −ａＸ＞ａ　　より、　　Ｘ＜α，β＜Ｘ


例題2-1　　ａ 5 が２８桁の整数であるとき、ａ と ａ 11 の桁数を求めよ｡
　　　　まず例として、２桁の整数は　１０以上９９以下　なので　１０以上１００未満　と考えて、
　　　　　　　　　　　　　　　１０≦２桁の整数＜１００　　と表せます｡
　　　　他の桁についても同じように考えていくと、一般的に
　　　　　　　　　　　　　１０ n-1 ≦ ２桁の整数＜１０ n 　　　となります｡
　　　　　ａ 5 が２８桁の整数であるので、　　１０ 27 ≦ａ 5 ＜１０ 28 　　となります。５乗根を考えて、
　　　　　　　　　（１０ 27 ） 1/5 ≦（ａ 5 ） 1/5 ＜（１０ 28 ） 1/5 　　より　　１０ 5.4 ≦ａ＜１０ 5.6
　　　　　　　この不等式から、ａ の桁数の判断ができるのですが、もう少し細かく考えてみましょう｡
　　　　　　　　　　　　１０ 5.4 ＝１０ 0.4 ・１０ 5 　　として、１０ 0.4 は １桁の数なので　１０ 5.4 は ６桁の数
　　　　　　　　同様に、　１０ 5.6 も ６桁の数になるので、　ａ は ６桁の数 　になります。
　　　　　　　　　　　　　　ここでこのように考えたのは、最高位の数が絞れるからです｡後でこれについて解説します｡
　　　　　　同様に　１０ 5.4 ≦ａ＜１０ 5.6 　　より　　（１０ 5.4 ） 11 ≦ａ 11 ＜（１０ 5.6 ） 11
　　　　　　　よって　　　１０ 59.4 ≦ａ＜１０ 61.6 　　　なので、６０桁、６１桁、６２桁　のいずれかである｡
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（この場合一つに限定できません）


例題2-２　　例題２−１　の ａ の最高位の数を求めよ｡（対数表を用いて下さい）
　　　　　　ｌｏｇ 10 ２＝０．３０１　⇔　１０ 0.301 ＝２　，　　ｌｏｇ 10 ３＝０．４７７１　⇔　１０ 0.4771 ＝３
　　　　　　　　　　　よって　　　２＜１０ 0.4 ＜３
　　　　　　また、　　１０ 0.301 ＝２　　　この利用辺平方して　１０ 0.602 ＝４ よって　３＜１０ 0.6 ＜４
　　　　　　　　　　　　１０ 5.4 ＝１０ 0.4 ・１０ 5 　　の最高位の数は　２
　　　　　　　　　　　　１０ 5.6 ＝１０ 0.6 ・１０ 5 　　の最高位の数は　３　　　となるので、
　　　　　　　　　　　　ａ の最高位の数は　２ または ３ となる。


例題2-３　　例題２−１　の ａ について
１
ａ 3
は小数第何位の数か、また最高位の数を求めよ。
　　　　　　　１０ 5.4 ≦ａ＜１０ 5.6 　　より　　１０ -16.8 ＜ａ -3 ≦１０ -16.2
　　　　　　　　　　　１０ -16.8 ＝１０ 0.2 ・１０ -17 　　よって　この数は小数第１７位の数
　　　　　　　　　　　１０ -16.2 ＝１０ 0.8 ・１０ -17 　　よって　この数も小数第１７位の数なので、
　　　　　　　　ａ -3 は小数第１７位の数である。　　次に
　　　　　　　　　　　１０ 0.301 ＝２　　　なので、　　１＜１０ 0.2 ＜２
　　　　　　ｌｏｇ 10 ７＝０．８４５　，ｌｏｇ 10 ６＝ｌｏｇ 10 ２＋ｌｏｇ 10 ３＝０．７７８　　なので、６＜１０ 0.8 ＜７
　　　　　　　よつて　ａ -3 の最高位の数は、１から６までのいずれかである。


例題3　　|ｌｏｇＸ|＋|ｌｇｏＹ|≦１　となる領域を図示せよ｡（底は１０）
一言；この種の問題で一番大切なのは、絶対値を外すときの定義域です｡定義域を全く無視して、
　　　 結果の式だけを用いている人が意外に多いです｡
ａ≧０ のとき |ａ|＝ａ　，ａ＜０ のとき |ａ|＝−ａ　としますが、ａ＞０ のとき |ａ|＝ａ　，ａ≦０ のとき |ａ|＝−ａと場合を分けてもかまいません｡
しかし、ａ＞０ のとき |ａ|＝ａ　，ａ＜０ のとき |ａ|＝−ａ　はａ＝０が定義されないので不可です｡
間違いではないのですが、ａ≧０ のとき |ａ|＝ａ　，ａ≦０ のとき |ａ|＝−ａ　はａ＝０ を２度定義しているので避けてください｡

（ア）|ｌｏｇＸ|≧０ かつ |ｌｏｇＹ|≧０　つまり　Ｘ≧１ かつ Ｙ≧１　　　 　のとき　　０＜ＸＹ≦１０
（イ）|ｌｏｇＸ|≧０ かつ |ｌｏｇＹ|＜０　つまり　Ｘ≧１ かつ ０＜Ｙ＜１　　のとき　　Ｙ≧ １
10		 Ｘ
（ウ）|ｌｏｇＸ|＜０ かつ |ｌｏｇＹ|≧０　つまり　０＜Ｘ＜１ かつ Ｙ≧１　　のとき　　Ｙ≦１０Ｘ
（エ）|ｌｏｇＸ|＜０ かつ |ｌｏｇＹ|＜０　つまり　０＜Ｘ＜１ かつ ０＜Ｙ＜１　　のとき　　ＸＹ≧ １
10




　



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