97電気通信大の入試問題より(出題形式を多少変えています)

ａは整数とする。Ｘ の ３次方程式 　Ｘ 3 −ａＸ−３ａ−１８＝０　・・・（*）　　は正の有理数 Ｘ 0 を解にもつとする。 このとき、次の問いに答えよ。 （１）　Ｘ 0 は自然数であることを示せ。 （２）　Ｘ 0 は ３ の倍数でないとする。このとき、ａ と Ｘ 0 を求めよ。

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解答例 （１）　有理数 Ｘ0 を ｍ .ｎ とおく。ここで、ｍ，ｎ は互いに素な自然数とする（ｎ≠１）。これを方程式（*）に代入して、 　　　　　. ( ｍ .ｎ ) 3 −ａ・ ｍ .ｎ −３ａ−１８＝０　　より、 　ｍ 3 ＝ｎ｛ａｍｎ＋(３ａ＋１８)ｎ 2 ｝　　となる。 　　　　これより、　ｍ 3 は ｎ の倍数になる。このことは、ｍ 3 はｎに含まれる素因数をもつことになる。 　　　　　これは、ｍ，ｎ は互いに素であることに矛盾する。よって Ｘ0 は自然数である。 　　　　　　「どこに矛盾が生じていか」何らかの説明はするべきです。 （２）　　　Ｘ＝Ｘ0 は方程式（*） の解なので、Ｘ0 3 −ａＸ0−３ａ−１８＝０　　より　 　　　　　　　　ａ＝ ＝ ＝Ｘ0 2 −３Ｘ0＋９− 　４５　 Ｘ0＋３ 　　　　　ａ と Ｘ0 は整数なので、Ｘ0＋３ は ４５ の約数である。また、Ｘ0 は ３ の倍数でない自然数だから、 　　　　　　　　　Ｘ0＋３＝５　である。よって　　　Ｘ0＝２ ，ａ＝−２