98立命館・法(A)の入試問題より　
　
一組の不等式　Y≦Ｘ－１，Ｙ≧ １
２		 (Ｘ－１)(Ｘ－３)　の表す領域Ｄで、1次式　ａＸ－Ｙ　のとる値の最大値、
最小値は定数 ａ の値によって次のようになる。
ⅰ) 　　ａ≦（キ）　　 のとき　　　最大値＝（ク）　　最小値＝（ケ）
ⅱ)（キ）＜ａ≦（コ）　のとき　　　最大値＝（サ）　　最小値＝（シ）
ⅲ)（コ）＜ａ≦（ス）　のとき　　　最大値＝（セ）　　最小値＝（ソ）
ⅳ)　　 ａ＞（ス）　 　のとき　　　最大値＝（タ）　　最小値＝（チ）
　

図 ⅰ)

図 ⅱ)－ａ

図 ⅱ)－ｂ

図 ⅲ)

図 ⅳ)
　
領域内を通過する直線の概形は上図のようになる。
図 ⅰ)　と　図 ⅱ)　の境は、直線が点 (１，０) で接するときである。
Ｙ＝ １
２		 (Ｘ－１)(Ｘ－３)　を微分して、Ｙ’＝Ｘ－２　より、Ｙ’
x=1		＝－１
また、　ａＸ－Ｙ＝ｋ　とおくと、Ｙ＝ａＸ－ｋ　・・・①　となる。ここで、①の傾きが －１より小さいときは、
図 ⅰ) のようになり、－１より大きいときは、図 ⅱ)－ａ,ｂ のようになる。
　　　　*接線の傾きを求めるのに微分を利用したが、微分を未だ習っていない場合は
　　　　　連立させて判別式から求めてください。

ⅰ) ａ≦－１　のとき
　　　　　　　　　　①が点(１，０) を通るとき、－ｋは最小に、つまり　ｋは最大に、
　　　　　　　　　　①が点(５，４) を通るとき、－ｋは最大に、つまり　ｋは最小になる。
　　　　　　よって　 　(Ｘ，Ｙ)＝(１，０)　のとき最大値　ａ
　　　　　 　　　　 　　 (Ｘ，Ｙ)＝(５，４)　のとき最小値　５ａ－４

次に、図 ⅱ) と 図 ⅲ) の境は、①の通過できる上限が (５，４) であるか、それとも (１，０)　になる
　　　　場合を考える。

ⅱ)　－１＜ａ≦１　のとき　　　
　　　　　　　　　　①が点(５，４) を通るとき、－ｋは最大に、つまり　ｋは最小になる。最小値　５ａ－４
　　　　　　　　　　①が放物線と接するとき、 －ｋは最小に、つまり　ｋは最大になる。
　　　　　　　　　　　　　このとき、Ｙ’＝ａ　であるから　Ｘ＝ａ＋２　また、Ｙは
　　　　　　　　　　　　　Ｙ＝ １
２		 (ａ＋１)(ａ－１) であるから、最大値は、この X, Y を ａＸ－Ｙ に代入して

　　　　　　　　　　　　　　　　ａ(ａ＋２)－

 １
２		 (ａ＋１)(ａ－１)＝ １
２		 ａ 2

＋２ａ－ １
２		 　・・・最大値
　　　　　　　特に、ａ＝１ のときは　① とＹ＝Ｘ－１ が重なるので、最小値を与える (Ｘ，Ｙ) は
　　　　　　　直線 Ｙ＝Ｘ－１ 上の １≦Ｘ≦５　である。(Ｘ，Ｙ)＝(ｔ，ｔ－１) １≦ｔ≦５　と表してもよい。

次に、図 ⅲ)　と　図 ⅳ)　の境は、直線が点 (５，４) で接するときである。つまり、ａ＝３

ⅲ)　１＜ａ≦３　のとき
　　　　　　　　　　①が点(１，０) を通るとき、－ｋは最大に、つまり　ｋは最小になる。最小値　ａ
　　　　　　　　　　また、最大値は、ⅱ)の －１＜ａ≦１ と同じであるから
　　　　　　　　　　　　　　　　. １
２		 ａ 2

＋２ａ－ １
２		 　・・・最大値
　
ⅳ)　３＜ａ　のとき
　　　　　　　　　　①が点(１，０) を通るとき、－ｋは最大に、つまり　ｋは最小になる。最小値　ａ
　　　　　　　　　　①が点(５，４) を通るとき、－ｋは最小に、つまり　ｋは最大になる。最小値　５ａ－４