座標平面(公式の解説と例題)

覚えてしまえば過程はさほど重要でないように思えますが、導く過程にかなり大切な考え方や、 　　　　テクニックがあります。（高等数学はとき方が解っても面倒な計算が多いと思っている人は、今一度 　　　　計算方法のスキルアップをめざしてください。） 直線 ａＸ＋ｂＹ＋Ｃ＝０ と 点（Ｘ1，Ｙ1）　の距離を求めよ。 　　　　　　　　　　　（垂線との交点を求めて二点の距離を求めてもいいのですが、かなり面倒です） 解答例 　　　　点（Ｘ1，Ｙ1）から直線 ａＸ＋ｂＹ＋Ｃ＝０に下した垂線の足を（Ｘ2，Ｙ2）とすると、 　　　　垂直条件より、− ａ ｂ ・ Ｙ1−Ｙ1 Ｘ1−Ｘ2 ＝−１ 　　よって　Ｘ1−Ｘ2＝ｋａ，Ｙ1−Ｙ2＝ｋｂ 　　　　ここで、点（Ｘ2，Ｙ2）＝（Ｘ1＋ｋａ，Ｙ1＋ｋｂ）は直線 ａＸ＋ｂＹ＋Ｃ＝０上の点なので、 　　　　　　　　ａ（Ｘ1＋ｋａ）＋ｂ（Ｙ1＋ｋｂ）＋Ｃ＝０　である。　よって、ｋ＝− ａＸ1＋ｂＹ1＋ｃ 　ａ 2 ＋ｂ 2 　 　　　　また、垂線の長さを Ｌ とすると、Ｌ 2 ＝（Ｘ1−Ｘ2） 2 ＋（Ｙ1−Ｙ2） 2 ＝ｋ 2 （ａ 2 ＋ｂ 2 ）＝ （ａＸ1＋ｂＹ1＋ｃ）2 　　　ａ2＋ｂ2 　　　　よって、直線 ａＸ＋ｂＹ＋Ｃ＝０ と 点（Ｘ1，Ｙ1）　の距離は、 となる。 点Ａ（２，３）から円 Ｘ 2 ＋Ｙ 2 ＝１にひいた接線の接点を通る直線の方程式を求めよ。 解答例（接点の座標を求めて、この二点を通る直線の方程式を求めるとかなり面倒） 　　　　点Ａは円 Ｘ 2 ＋Ｙ 2 ＝１　　の外部にあるので、二本の接線が存在する。 　　　　このときの接点を、Ｐ（Ｘ1，Ｙ1），Ｑ（Ｘ2，Ｙ2） とすると、Ｐ，Ｑにおけるそれぞれの接線は、 　　　　　　　　Ｘ1Ｘ＋Ｙ1Ｙ＝１・・・・�@　　　Ｘ2Ｘ＋Ｙ2Ｙ＝１・・・・�A　　 　　　　ここで、点Ａ（２，３）は接線�@，�A上の点であるので、２Ｘ1＋３Ｙ1＝１・・・・�@’　２Ｘ2＋３Ｙ2＝１・・・・�A’ 　　　　�@’は点Ｐ（Ｘ1，Ｙ1）が、直線 ２Ｘ＋３Ｙ＝１ 上にあることを示している。同様に 　　　　点Ｑ（Ｘ2，Ｙ2）も、直線 ２Ｘ＋３Ｙ＝１ 上にある。(参照) 　　　　よって、直線 ２Ｘ＋３Ｙ＝１ は異なる二点Ｐ，Ｑを通ることになる。求める直線は、２Ｘ＋３Ｙ＝１　である。 　　　＊参照　　直線 ２Ｘ＋３Ｙ＝１ 上に点Ｐ（Ｘ1，Ｙ1）があるなら、この座標を代入して、２Ｘ1＋３Ｙ1＝１ 　　　　　　　　　 の関係式が得られる。ここでは、この逆をしているだけです。 　　　　　　　　　 しかし、点Ｐ（Ｘ1，Ｙ1）を通る直線は、この２Ｘ＋３Ｙ＝１　以外にも種々あります。 　　　　　　　　　 つまり、直線２Ｘ＋３Ｙ＝１ は点Ｐ（Ｘ1，Ｙ1）を通る種々な直線の一つであることになります。 　　　　　　　　　 点Ｑについても同様です。この、異なる二点を通る直線は唯一、一本に限られるので、 　　　　　　　　　 Ｐ，Ｑを通る直線は、 ２Ｘ＋３Ｙ＝１　になります。 一般的に 点Ｐ（Ｘ1，Ｙ1）が円（Ｘ−ａ） 2 ＋（Ｙ−ｂ） 2 ＝ｒ 2 　　上の点であるとき、 　は点Ｐ（Ｘ1，Ｙ1）における円の接線の方程式 　　　　　　　　直線 （Ｘ−ａ）（Ｘ1−ａ）＋（Ｙ−ｂ）（Ｙ1−ｂ）＝ｒ 2 点Ｐ（Ｘ1，Ｙ1）が円（Ｘ−ａ） 2 ＋（Ｙ−ｂ） 2 ＝ｒ 2 　　の外部点であるとき、 　　　　　　　　直線 （Ｘ−ａ）（Ｘ1−ａ）＋（Ｙ−ｂ）（Ｙ1−ｂ）＝ｒ 2 　は点Ｐ（Ｘ1，Ｙ1）から二本の接線を引いたとき の 　　　　　　　　　　　接点を通る直線の方程式になる。 点Ｐは円 Ｘ 2 ＋Ｙ 2 ＝１上を動き、点Ｑは二点Ａ（０，２），Ｂ（２，０）を端点とする線分Ａ Ｂ上を動きます。 このとき、線分ＰＱの長さの最小値と、最大値を求めよ。また、最大値、最小値を与えるＰ，Ｑの座標も 求めること。 解答例（頭で考える前にまず図を描いてから考える） 　　　　　最小値：Ｏから線分ＡＢに垂線をひき、その足を 　　　　　　　　　　をＨとすると、ＱがＨに重なるときである。 　　　　　　　　　　また、Ｐはこの垂線と円の交点である。 　　　　　Ｑは、Ｙ＝Ｘ　と　Ｘ＋Ｙ＝２　の交点 　　　　　Ｐは、Ｙ＝Ｘ　と　Ｘ2＋Ｙ2＝１　の交点の第�T象限　　　　 　　　　よって最小値は −１で、Ｐ ( ， ) ， 　　　　　　Ｑ（１，１）のとき 　　　　　　　　　また、ＡＢに平行な接線を考えてもよい 　　　　　　最大値：Ｂを中心として、点（−１，０）で接する円 　　　　　　　　　　　を考える。 　　　　　　　　　　　この円は、Ｘ2＋Ｙ2＝１を含んで内接する。 　　　　　　　　　　　また、Ａを中心とする同様な円も考えれる。 　よって、Ｐ（−１，０），Ｑ（１，０）または、Ｐ（０，−１），Ｑ（０，１） 　　　　　　　　のとき最大値 ３ なる。 三角形ＡＢＣの辺ＢＣを１：２に内分する点をＰとする。ＡＢ2，ＡＣ2，ＡＰ2，ＢＰ2の間に成り立つ関係式を求めよ。 　　　　　　（ベクトルを用いたら答え一発ですが座標を用いて等式の扱いたかを考えて下さい。） 解答例 　　　　Ａ（ａ，ｂ），Ｂ（０，０），Ｃ（３ｃ，０），とすると、Ｐ（ｃ，０）となる。 　　　　ＡＢ2＝ａ2＋ｂ2　・・・�@　　　　　　　　　　ＡＣ2＝（ａ−３ｃ）2＋ｂ2　・・・�A 　　　　ＡＰ2＝（ａ−ｃ）2＋ｂ2　・・・�B　　　　　　ＢＰ2＝ｃ2　・・・�C 　　　　�A，�Bより、ａｃの項を消去する。　→　ＡＣ2−３ＡＰ2＝−２ａ2−２ｂ2＋６ｃ2　　 　　　　　　　　　　　　　　　　ここで、�@，�C　より　　ＡＣ2−３ＡＰ2＝−２ＡＢ2＋６ＢＰ2　　　となる。 　　　　　　　　よって、　　　２ＡＢ2＋ＡＣ2＝３ＡＰ2＋６ＢＰ2　　が成り立つ。 四角形ＡＢＣＤの適当な三点で作る三角形の重心と残りの一点を結ぶ線分を考える。このような線分は 全部で４本あるが、これらは一点で交わることを証明せよ。（直線の方程式から交点を求めたら迷路？） 解答例 　　　　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，の座標をそれぞれ（ＸA，ＹA），（ＸB，ＹB），（ＸC，ＹC），（ＸD，ＹD）　とし、 　　　　△ＡＢＣ，△ＡＢＤ，△ＡＣＤ，△ＤＢＣ，の重心をＤ1，Ｃ1，Ｂ1，Ａ1，とすると、 　　　　Ｄ1の座標は ( ＸA＋ＸB＋ＸC 　　　３ ， ＹA＋ＹB＋ＹC 　　　３ ) ， Ｃ1の座標は ( ＸA＋ＸB＋ＸD 　　　３ ， ＹA＋ＹB＋ＹD 　　　３ ) 　　　　Ｂ1の座標は ( ＸA＋ＸC＋ＸD 　　　３ ， ＹA＋ＹC＋ＹD 　　　３ ) ， Ｃ1の座標は ( ＸD＋ＸB＋ＸD 　　　３ ， ＹD＋ＹB＋ＹD 　　　３ ) 　　　　ここで、線分ＤＤ1を３：１に内分する点の座標は ( ＸA＋ＸB＋ＸC＋ＸD 　　　　　４ ， ＹA＋ＹB＋ＹC＋ＹD 　　　　　４ ) となる。 　　　　同様に、ＣＣ1，ＢＢ1，ＡＡ1，ＤＤ1を３：１に内分する点の座標もすべて 　　　　　　　　　　　　. ( ＸA＋ＸB＋ＸC＋ＸD 　　　　　４ ， ＹA＋ＹB＋ＹC＋ＹD 　　　　　４ ) 　となりこれら４本の線分は一点で交わる。