00一橋大学(前期)の入試問題より
ｃを正の定数とし、ｆ（Ｘ）＝Ｘ 3 ＋３Ｘ 2 ，ｇ（Ｘ）＝Ｘ 3 ＋３Ｘ 2 ＋ｃとする。直線 ｌ は点Ｐ（ｐ，ｆ(ｐ)）で
曲線 Ｙ＝ｆ（Ｘ）と接し，点Ｑ（ｑ，ｇ(ｑ)）で曲線 Ｙ＝ｇ（Ｘ）と接する。
（１）ｃをｐで表せ。
（２）直線 ｌ と曲線 Ｙ＝ｆ（Ｘ）のＰ以外の交点をＲとする。２たつの線分の長さの比 ＰＱ：ＱＲ を求めよ。
　
解答例
（１）　直線 ｌ はｐ，ｑを用いて　Ｙ＝（３ｐ 2 ＋６ｐ）（Ｘ−ｐ）＋ｐ 3 ＋３ｐ 2 ，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ｙ＝（３ｑ 2 ＋６ｑ）（Ｘ−ｑ）＋ｑ 3 ＋３ｑ 2 ＋ｃ　と表せてこれが同一の直線なので、
　　　　　　　　　　　３ｐ 2 ＋６ｐ＝３ｑ 2 ＋６ｑ　・・・［ア］　かつ　−２ｐ 3 −３ｐ 2 ＝−２ｑ 3 −３ｑ 2 ＋ｃ　・・・［イ］
　　　　　　　　［ア］より　（ｐ−ｑ）（ｐ＋ｑ＋２）＝０　　題意より　ｐ≠ｑ　　だから　　ｐ＋ｑ＋２＝０
　　　　　　　　よって　ｃ＝２ｑ 3 −２ｐ 3 ＋３（ｑ−ｐ）（ｐ＋ｑ）
　　　　　　　　　　　　　 ＝２（−ｐ−２） 3 −２ｐ 3 −６（−２ｐ−２）
　　　　　　　　　　　　　 ＝−４ｐ 3 −１２ｐ 2 -１２ｐ−４＝−４（ｐ＋１） 3

（２）　点ＲのＸ座標は、
　　　　　　方程式　Ｘ 3 ＋３Ｘ 2 ＝（３ｐ 2 ＋６ｐ）Ｘ−２ｐ 3 −３ｐ 2 　　の解の中で Ｘ≠ｐ　となるもの。
　　　　　　　　　　　（Ｘ−ｐ） 2 （Ｘ＋２ｐ＋３）＝０　　より　ＲのＸ座標は −２ｐ−３　となる。
　　　　　　　（この因数分解 は、Ｘ＝ｐが重解 になることを利用 します。）
　　　　よって、　ＰＱ：ＱＲ＝|ｐ−ｑ|：|ｑ−（−２ｐ−３）|＝|２ｐ＋２|：|ｐ＋１|＝２：１　
　　　　　　　（線分の長さを求めないで、各点のＸ座標を利用 します。）