99京都大学(前期・文理共通)の入試問題より

放物線 Ｙ＝Ｘ 2 の上を動く ２点 Ｐ，Ｑがあって、この放物線と線分 ＰＱ が囲む部分の面積が常に １ である とき、ＰＱ の中点 Ｒが描く図形の方程式を求めよ。

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解答例　(主な解法が二通りありますので、どちらの解法もマスターして下さい。) ［解法�T］ 　　　　２点 Ｐ ，Ｑ を通る直線を　Ｙ＝ｍＸ＋ｎ　とおくと、２点 Ｐ ，Ｑ の Ｘ 座標は 　　　　方程式　Ｘ 2 −ｍＸ−ｎ＝０　の解である。この解を ｐ ，ｑ とすると、　ｐ＋ｑ＝ｍ　　ｐｑ＝−ｎ　・・・�@ 　　　　 放物線　Ｙ＝Ｘ 2 　と線分ＰＱ が囲む部分の面積は　 p q （ｍＸ＋ｎ−Ｘ 2 ）ｄＸ　＝ １ ６ （ｐ−ｑ） 3 ＝１ 　　　　 よって、　（ｐ−ｑ） 3 ＝６　（ｑ＜ｐ　 としている）　より、（ｐ−ｑ） 2 ＝（ｐ＋ｑ） 2 −４ｐｑ＝ 　　　　 ここで、�@ より 　ｍ 2 ＋４ｎ＝ 　・・・�A 　　　　 また、点 Ｒ は 　 （ ｐ＋ｑ 　２ ，ｍ ｐ＋ｑ 　２ ＋ｎ ） 　　 ここで、�@ より 点 Ｒ は （ ｍ ２ ， ｍ2 ２ ＋ｎ ）　となる。 　　　　 Ｘ＝ ｍ ２ ， Ｙ＝ ｍ2 ２ ＋ｎ 　とすると、ｍ＝２Ｘ ，ｎ＝Ｙ−２Ｘ2 を �A に代入して ｍ，ｎを 消去すると、 　　　　　　４Ｘ 2 ＋（４Ｙ−８Ｘ 2 ）＝ 　　よって、求める軌跡は、　４Ｙ−４Ｘ2＝ 　　である。 ［解法�U］ ２点 Ｐ ，Ｑ を（ｐ，ｐ 2 ），（ｑ，ｑ 2 ）　とすると、直線 ＰＱ は Ｙ＝（ｐ＋ｑ）（Ｘ−ｐ）＋ｐ 2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　＝（ｐ＋ｑ）Ｘ＋ｐ 2 　　となる。 　　　　面積に付いては、［解法�T］と同様に　　（ｐ−ｑ） 3＝６　を得る。 　　　　 また、点 Ｒ は 　 （ ｐ＋ｑ 　２ ， １ ２ (ｐ 2 ＋ｑ 2 ) ） ＝（Ｘ，Ｙ） 　として、をｐ，ｑ消去すればよい。 [解法�T] でも [解法�U] でも、本質は同じです。直線から交点を求めるか、交点から直線を求めるかの違い