00東工大学(後期)の入試問題より
実数ａ，ｂにたいし　ｆ（Ｘ）＝X 3 ＋Ｘ 2 ＋（ａ＋ｂ−ａ 2 ）Ｘ＋ａｂ 　　とおく。
（１）ｆ（Ｘ）を因数分解せよ。
（２）すべての　Ｘ≧０ にたいし　ｆ（Ｘ）≧０　が成り立つための ａ，ｂ の条件を求め、それを満たす点（ａ，ｂ）の
　　 存在する範囲を図示せよ。
解答例
（１）　ｆ（−ａ）＝０　より　　ｆ（Ｘ）＝（Ｘ＋ａ）（Ｘ 2 ＋(１−ａ)Ｘ＋ｂ）
　　　　　　　　　　　　　＊　最低次の文字で整理するという鉄則があるが、ｂを消去できるものを探せばよい。
（２）　[ア]　ａ≧０　のとき、
　　　　　　Ｘ≧０の範囲で、Ｘ＋ａ≧０　であるから、Ｘ 2 ＋(１−ａ)Ｘ＋ｂ≧０　となればよい。
　　　　　　　ｇ（Ｘ）＝Ｘ 2 ＋(１−ａ)Ｘ＋ｂ　　とおくと　ｇ（Ｘ）＝ （ Ｘ− ａ−１
　２		 ） 2

 ＋ｂ−
（ａ−１） 2
　 ４
　　　　　　　 　(ア−１)　ａ≧１　のとき、軸　 ａ−１
　２		 ≧０　なので、ｂ−
（ａ−１） 2
　 ４
≧０
　　　　　　　 　(ア−２)　０≦ａ＜１　のとき、軸　 ａ−１
　２		 ＜０　なので、ｇ（０）＝ｂ≧０
　　　　［イ］　ａ＜０　のとき、　　０≦Ｘ≦−ａ　で、ｇ（Ｘ）＝Ｘ 2 ＋(１−ａ)Ｘ＋ｂ≦０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　−ａ≦Ｘ　 で、　ｇ（Ｘ）＝Ｘ 2 ＋(１−ａ)Ｘ＋ｂ≧０　　となる。
　　　　　　　　 よって、ｇ（−ａ）＝０　となることが必要。（必要条件）
　　　　　　　　［イ−１］　Ｘ＝−ａ　が重解の場合　は　０≦Ｘ≦−ａ　で、ｇ（Ｘ）≦０　にならないので不適
　　　　　　　　［イ−２］　Ｘ＝−ａ　と異なる解を持つ場合は、　他の解（α）が　α≦０　となればよい。　　
　　　　　　　　　　　　ｇ（−ａ）＝ａ 2 −(１−ａ)ａ＋ｂ＝０　より、　ｂ＝−２ａ 2 ＋ａ
　　　　　　　　　　　　二次方程式の解と係数の関係より　α＝２ａ−１≦０　（ａ＜０より成り立つ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＊［イ−１］の場合を示さずにすぐ結論を示したほうがよい。（筆者のミスに近い(-_-;)）
　　よって、求める条件は
　　　　　　　ａ＜０，ｂ＝−２ａ 2 ＋ａ
　　　　　　　０≦ａ＜１，ｂ≧０
　　　　　　　１≦ａ，ｂ≧
（ａ−１） 2
　 ４