将棋倶楽部２４のレーティング

日本最大の将棋レーティングについて考える

  • 将棋倶楽部２４では、レーティングの計算が１回の対局毎 に行われますが、これはオーソドックスなレーティングと違うところです。
  • また、将棋倶楽部２４のレーティング計算式は、「16±4％式」　という言い方をされることがあります。
  • これは、期待勝率の計算式が一次関数 であることをいってるのですが、この点もまたオーソドックスなレーティングとの違いのひとつです。

　Ｒ点の授受

　将棋やチェスだけに限らず、近年はさまざまな競技でレーティングが行われています。　レーティングでは勝敗結果に基づいて負けたほうから勝ったほうへＲ点が移動しますが、その計算規定はレーティングの運営主体により異なります。　特にＲ点授受の計算方法には様々なバリエーションがあります。

　ここでは、将棋倶楽部２４のＲ点授受の方法とオーソドックスなレーティングのＲ点授受の方法との違いについてみることにします。

　　倶楽部２４の計算方法

　倶楽部２４のレーティングは、以下の規定に基づいて１回の対局毎に 計算されます。

  • 同じ点数同士の場合は、勝った方に16点プラス、負けた方に16点マイナス
  • 点数が異なっていれば、次の方法により計算
    勝った場合
    新しい点数＝はじめの点数＋(１６点＋(負けた方の点数−勝った方の点数)×４％)
    負けた場合
    新しい点数＝はじめの点数−(１６点＋(負けた方の点数−勝った方の点数)×４％)

　他のレーティング計算規定との比較を容易にするため、一般化した形に書き直すと以下のように表現できます。

    Rn = Ro + K(W-We)
    Rn：新しい点数
    Ro：はじめの点数
    K：定数(＝３２）
    W：得点（勝った場合１、負けた場合０）
    We：期待勝率

　ここで We は以下のようになります。

    We = 0.5 + 0.00125dr
    dr：レーティングの差（＝Ｒ点差）

　当然ながら、k=32を式に代入すると、倶楽部２４の計算規定に書かれてあることと同じになります。　計算式が示すところ、期待勝率の計算式は一次関数 の形をとっています。

＜ 計算例 ＞
  • 1500点の人が1700点の人に勝ったときの計算例

    勝った人（＝1500点）
    We=0.5+0.00125×（1500-1700）= 0.25
    Rn=1500+32×（1-0.25）=1500+24=1524　よって1524点
    負けた人（＝1700点）
    We=0.5+0.00125×（1700-1500）= 0.75
    Rn=1700+32×（0-0.75）=1700-24=1676　よって1676点

　　オーソドックスな計算方法の例

　レーティングの運営主体によって計算方法はバリエーションに富んでいます。　中でも、オーソドックスなものは以下の計算式ですが、１試合毎にではなく、複数の試合の結果をまとめて計算 することのほうが一般的です。

    Rn = Ro + K(W-We)
    Rn：新しい点数
    Ro：はじめの点数
    K：定数(k=32，24，16，12，8 等、運営主体により異なる。　複数のｋ値を採用している運営主体もある。)
    W ：得点（勝点１、負点０、引分０．５）
    We：得点の期待値（＝期待勝率の合計）

　まず、ここまで、式の格好は倶楽部２４と全く同じです。　倶楽部２４と違う点は、

  • 複数の試合結果のトータルでWとWeを計算するのが一般的であること
  • 引分試合でもＲ点が移動すること
  • k値のとりかたにもバリエーションがあること
があげられます。

　さらに、 We（＝期待勝率）の計算式は倶楽部２４のWeの計算式とは明確に異なります。

    We = 1/ (10 -(dr/400) +1)
    　
    dr：レーティングの差（＝Ｒ点差）

　期待勝率の計算式は倶楽部２４と違って一次関数の形をしていません。　これは、「Bradley-Terry Model」 と呼ばれています。　Weは、関数電卓やパソコンがあれば計算できますが、そうしなくても早見表を参照することで簡単に知ることができます。

＜ 計算例 ＞
  • 1500点の人がK=32の競技会で６ゲームを戦った時の計算例
  • 結果は、1700点の相手に引分、1600点の相手に勝ち、1850点の相手に負け、1900点の相手に引分、1800点の相手に負け、1550点の相手に勝ち

    1. 自分のＲ点（＝1500点）から相手のＲ点をそれぞれ引くと、-200、-100、-350、-400、-300、-50
    2. それぞれの点差に対応するWe（＝期待勝率）は 0.240、0.360、0.118、0.091、0.151、0.429
    3. それぞれのWeを合計すると 0.240 +0.360 +0.118 +0.091 +0.151 +0.429 =1.389
    4. W（＝得点）を合計すると 0.5 +1 +0 +0.5 +0 +1 =3
    5. 3（＝Wの合計）から1.389（＝Weの合計）を引いて1.611
    6. 1.611に32を掛けて51.552
    7. 四捨五入して52、よって新しい点数は1500 +52 ＝1552

　*本計算例の出典はhttp://www.swissperfect.com/handbook/USCFrating.htmです。

　　「16±4％式」と「Bradley-Terry Model」

　「16±4％式」とオーソドックスな「Bradley-Terry Model」の特徴について、グラフから以下のことがわかります。

  • 「16±4％式」は直線「Bradley-Terry Model」は曲線
  • Ｒ点差が０のときの勝率は両者ともに５０％
  • 「16±4％式」ではＲ点差２００のときの上手勝率７５％、Ｒ点差４００のときの上手勝率１００％
  • 「Bradley-Terry Model」ではＲ点差２００のときの上手勝率約７６％、Ｒ点差４００のときの上手勝率約９１％

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