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[前提条件]牌は通常の34種類×4枚＝136枚とします。[計算式]
計算に影響する特殊な牌（花牌・白ポッチなど）は含まないものとします。136!÷4!34[計算結果]43269839174284726381013830503374213188258988001402
79809429117995909720365098503388909186259061603322
46611492154251485203537706583203911528927630102575
646500000000000000000000000000000000
＝約4.3×10185通り
[前提条件]牌は通常の34種類×4枚＝136枚とします。[計算式]
計算に影響する特殊な牌（花牌・白ポッチなど）は含まないものとします。[計算結果]
n÷4
Σ
k=0[ 34Ｃk× (n-4k)÷3
Σ
a=0{ 34-kＣa× (n-4k-3a)÷2
Σ
t=0( 34-k-aＣt×34-k-a-tＣn-4k-3a-2t ) } ]
n: 配牌の枚数 (親=14、子=13)
k: 槓子の数
a: 刻子の数
t: 対子の数
nＣr = n!÷((n-r)!×r!) ( n個からr個をとる組合せの数 )
Σの終値の除算による余りは切り捨てるものとします。
枚数 組合せ数 親 14枚 326520504500通り 子 13枚 98521596000通り
[前提条件]牌は通常の34種類×4枚＝136枚とします。[計算式]
計算に影響する特殊な牌（花牌・白ポッチなど）は含まないものとします。
誰も鳴かないものとします。
誰も和らず、流局となるものとします。
流し満貫は、流局時に成立するものとします。
捨て牌は、幺九牌があれば必ず幺九牌を捨てるものとします。136枚の中から任意のm枚を取った時にn枚が幺九牌である確率は[計算結果]
52Ｃn×84Ｃm-n÷136Ｃm
なので、流し満貫が出来る確率は
となります。ただし、kは流局時の捨て牌の枚数、mは配牌＋全自摸牌数で、
m
Σ
n=k( 52Ｃn×84Ｃm-n÷136Ｃm )
東家または南家の場合 k=18, m=31
西家または北家の場合 k=17, m=30
です。
風 確率 備考 東家 0.00931 = 0.931％ 約1/107 南家 0.00931 = 0.931％ 約1/107 西家 0.01696 = 1.696％ 約1/59 北家 0.01696 = 1.696％ 約1/59
この結果を見ると、流し満貫を狙うなら西家または北家の時の方が断然お得ですね。
上の計算式を応用すると、２人同時成立の確率なども求められます。
成立人数別の確率は、
人数 確率 備考 ０人 0.94752 94.752％ １人 0.05242 5.242％; 約1/19 ２人 0.00006 約1/17578 ３人 4.3×10-14 約1/23兆
となります。３人成立は、東家＋西家＋北家、南家＋西家＋北家のどちらかで、この場合３人で全ての幺九牌を捨てることになります。４人は幺九牌が足りないのであり得ません。
全員が毎回流し満貫を狙うと、半荘２回に１回近く出ると考えると、結構確率が高いですね。
ちなみに、３人成立だけは（84!×52!×31!×30!2×2）÷（136!×18!×17!2×13!3）という簡単な式（爆）で表せます。
[前提条件]牌は通常の34種類×4枚＝136枚とします。[計算式]
計算に影響する特殊な牌（花牌・白ポッチなど）は含まないものとします。
鳴き、和了はないものとします。
誰か特定の１人の真似をするものとします。
真似される人は、ランダムに捨て牌を行うものとします。単純な式であらわすことは出来ません。[計算結果]
計算過程を説明するにしても複雑過ぎるので、省略します。真似出来る枚数と確率の関係は次のようになります。
※備考欄の値は概数です。
枚数 確率 備考 1枚 0.2818364319 28％ 2枚 0.0850367309 1/12 3枚 0.0273354067 1/37 4枚 0.0093212827 1/110 5枚 0.0033586301 1/300 6枚 0.0012742123 1/790 7枚 0.0005073381 1/2000 8枚 0.0002113576 1/4700 9枚 0.0000918715 1/11000 10枚 0.0000415565 1/24000 11枚 0.0000195123 1/51000 12枚 0.0000094878 1/110000 13枚 0.0000047668 1/210000 14枚 0.0000024692 1/410000 15枚 0.0000013160 1/760000 16枚 0.0000007202 1/1400000 17枚 0.0000004040 1/2500000 18枚 0.0000002318 1/4300000
やはり、真似満を役として採用するなら、４〜５枚程度が妥当なところでしょうね。
[解説]１色の数牌すなわち１〜９の牌4枚ずつ計36枚から適当に14枚取った時に、それが和了形となっている確率です。[計算式]
局の最初から清一色に走って、１色の数牌が14枚たまった時に和っている確率とも言えます。１色の数牌14枚の全パターン数は、重複分を含めて（つまり同じ牌４枚を１枚１枚区別して）考えると[計算結果]
36Ｃ14
となります。重複分を含めない場合のパターン数は「配牌の形は何通りあるか」で使用した計算式で計算出来ます（ただし、k=a=t=0のような場合を除外しなければなりませんので、少し注意が必要です）が、和了形を数えるついでに全パターン数も数えることにします。
なお、四暗刻や七対子のような特別な和了形は、簡単な計算式で表せます。
重複なし 重複あり 四暗刻 9Ｃ5×5Ｃ1 9Ｃ5×5Ｃ1×44×6 七対子 9Ｃ7 9Ｃ7×67
パターン数 総組合せ数 確率 備考 全体 118800 3796297200 100.000％ 和了形 13277 445632532 11.739％ 約1/9 四暗刻 630 967680 0.025％ 約1/3900 七対子 36 10077696 0.265％ 約1/380
和了形の確率が11.7％というのは、思ったより高い確率ですね。
また、四暗刻のパターン数が七対子のパターン数の17.5倍もあるのに、確率では七対子の方が10倍以上高いというのも面白いですね。
[前提条件]牌は通常の34種類×4枚＝136枚とします。[計算方法]
計算に影響する特殊な牌（花牌・白ポッチなど）は含まないものとします。
通常聴牌と認められない形の特殊役はないものとします。簡単な計算式では表せません。細かく場合分けをすれば計算出来ないことはありませんが、プログラムで数えて計算した方がはるかに楽です。[計算結果]
単純に全部の牌の組合せについて和了形であるかどうかを判断するのは、天文学的な時間がかかってしまい無理ですので、次のような手順で計算します。
(1) 七対子及び国士無双を除けば、和了形のうち、字牌、萬子、筒子、索子の枚数は、0枚、2枚、3枚、5枚、6枚、8枚、9枚、11枚、12枚、14枚のうちのいずれかです。 (2) 字牌及び数牌のそれぞれについて、上記の枚数毎に（ｎ個の面子＋最大１個の雀頭）となっている組合せの数を調べます。この時、全ての牌が対子となっている組合せ数も数えておきます。 (3) ４種類の牌の合計が14枚になる全ての組合せについて、組合せ数を調べます。ただし、雀頭は１つに限りますので、字牌5枚、萬子5枚・筒子2枚・索子2枚のような組合せは数えないようにします。 (4) 上記の結果から、七対子形となっていたものを除きます。 (5) 七対子の和了形の組合せ数を計算します。
七対子の和了形のパターン数は34Ｃ7通り
組合せ数は34Ｃ7×67通り
です。(6) 国士無双の和了形の組合せ数を計算します。
国士無双の和了形のパターン数は13通り
組合せ数は13×6×412通り
です。(7) (4)〜(6)の合計を総組合せ数で割ることにより、確率が計算出来ます。
総組合せ数は136Ｃ14通りです。(8) プログラム上は、大して時間もかかりませんので、プログラムが正常に動いていることの確認も兼ねて、(1)〜(3)と同様にして総組合せ数を求めています。この場合は、字牌と数牌のそれぞれについて、0枚〜14枚全てについての組合せ数を調べて、４種類の牌の合計が14枚になる全組合せについて組合せ数を計算しています。 まず、(2)の結果は次のようになります。
【字牌】
枚数 全パターン数 組合せ数 有効パターン数 組合せ数 対子パターン数 組合せ数 0 1 1 1 1 1 1 1 7 28 0 0 0 0 2 28 378 7 42 7 42 3 84 3276 7 28 0 0 4 210 20475 0 0 0 0 5 455 98280 42 1008 0 0 6 875 376740 21 336 0 0 7 1520 1184040 0 0 0 0 8 2415 3108105 105 10080 0 0 9 3535 6906900 35 2240 0 0 10 4795 13123110 0 0 0 0 11 6055 21474180 140 53760 0 0 12 7140 30421755 35 8960 0 0 13 7875 37442160 0 0 0 0 14 8135 40116600 105 161280 0 0
【数牌】
枚数 全パターン数 組合せ数 有効パターン数 組合せ数 対子パターン数 組合せ数 0 1 1 1 1 1 1 1 9 36 0 0 0 0 2 45 630 9 54 9 54 3 165 7140 16 484 0 0 4 495 58905 0 0 0 0 5 1278 376992 135 19200 0 0 6 2922 1947792 127 65272 7 1512 7 6030 8347680 0 0 0 0 8 11385 30260340 996 1748756 36 46656 9 19855 94143280 627 2742868 0 0 10 32211 254186856 0 0 0 0 11 48879 600805296 4475 47037380 0 0 12 69675 1251677700 2098 40399783 10 466560 13 93600 2310789600 0 0 0 0 14 118800 3796297200 13259 440593684 18 5038848
上記の表の値を使用して計算した結果が、次の通りです。
パターン数 組合せ数 一般形 11498658 11353128141498 内七対子形 4668 1306741248 残り 11493990 11351821400250 七対子 5379616 1505948184576 国士無双 13 1308622848 総計 16873619 12859078207674 全組合せ 326520504500 4250305029168216000
以上により、天和の確率は
12859078207674÷4250305029168216000
＝約0.000003025 (約1/330530)
となります。
なお、数牌の表の14枚のパターン数 118800 と組合せ数 3796297200 は「１色の数牌14枚が和了形である確率」の計算結果と一致しており、全組合せのパターン数 326520504500 は、「配牌の形は何通りあるか」で算出した値と一致していますので、双方のプログラムの計算結果が正しいことの確認にもなっています。
数牌の表の14枚の有効パターン数 13259 は「１色の数牌14枚が和了形である確率」の和了形のパターン数 13277 と異なっていますが、これは七対子の扱いの違いによるものです。数牌の表の14枚の対子パターン数 18 は 13259 通りのうちの七対子形かつニ盃口形のパターン数であり、この数を引いて七対子のパターン数 36 を加えると、13259−18＋36＝13277 であり、一致します。
[前提条件]牌は通常の34種類×4枚＝136枚とします。[計算式]
計算に影響する特殊な牌（花牌・白ポッチなど）は含まないものとします。
親の第１捨て牌は単独牌とします。つまり、最初から対子落としや暗刻落としは行わないものとします。
親は第１捨て牌前に暗槓をしないものとします。
親の第１捨て牌で子の栄和となる確率は除外して考えます。
「ポン出来る確率」は、「親の第１捨て牌と同じ牌を２枚持っている確率」とします。３枚持っている場合は除外します。計算には、次の式を使用します。[計算結果]
【一般形】
あるものがｎ個あり、そのうち特定の条件を満たすものがｒ個であるものとします。
いま、ｎ個のものの中から任意のｍ個をとった場合、そのｍ個の中に条件を満たすもの（全部でｒ個あるもの）がｋ個入っている確率は、
（rＣk×n-rＣm-k）÷nＣm
という式で表せます。
前提条件により、親が第１捨て牌を行った後、親の手牌の中には第１捨て牌と同じ牌はありません。
従って、残る３枚の牌は136-14=122枚の中にあります。
最初に、特定の子について考えます。手牌の枚数は13枚ですから、上の式に当てはめると
n=122, r=3, m=13, k=2
ですので、
（3Ｃ2×122-3Ｃ13-2）÷122Ｃ13
により確率が計算できます。
子は３人いますが、２枚持っている人が２人以上いることはないので、上式の結果を単純に３倍したものが求める確率となります。（3Ｃ2×122-3Ｃ13-2）÷122Ｃ13×3 = 153036/1771440 = 約0.0864 = 約8.64％ (約1/12)
ちなみに、槓出来る確率は
（3Ｃ3×122-3Ｃ13-3）÷122Ｃ13×3 = 5148/1771440 = 約0.0029 = 約0.29％ (約1/344)
となります。
[前提条件]牌は通常の34種類×4枚＝136枚とします。[計算式]
計算に影響する特殊な牌（花牌・白ポッチなど）は含まないものとします。
親あるいは子が最初に単独の風牌を持っていても、それを捨てる確率は計算出来ませんので、３人の子全員が親の第１捨て牌と同じ牌を捨てることが出来る確率（＝配牌＋第１自摸の中に親の第１捨て牌と同じ牌がある確率）を計算します。
親の第１捨て牌（風牌）は単独牌とします。つまり、最初から対子落としや暗刻落としは行わないものとします。
１巡の間、鳴きや和了はないものとします。計算には、「親の第１捨て牌を誰かがポン出来る確率」で使った計算式を用います。[計算結果]
前提条件により、親が第１捨て牌を行った後、親の手牌の中には第１捨て牌と同じ牌はありません。
従って、残る３枚の牌は136-14=122枚の中にあります。
まず、この３枚が３枚とも子の配牌＋第１自摸(14×3＝42枚)の中にある確率を、次の式によって計算します。
（3Ｃ3×122-3Ｃ42-3）÷122Ｃ42
そして、それぞれの子が持っている枚数別の確率を、次の式を元に計算します。
ある子が（配牌＋第１自摸の中に）ｎ枚持っている確率 = （3Ｃn×42-3Ｃ14-n）÷42Ｃ14
最後に、最初に求めた確率と子が１枚ずつ持っている確率を掛ければ、結果が得られます。最初の、残りの３枚の風牌が全て子の配牌＋第１自摸の中にある確率は
（3Ｃ3×122-3Ｃ42-3）÷122Ｃ42 = 68880/1771440
３人の子で３枚持っている場合にそれぞれの子が持っている枚数毎の確率は
南家 西家 北家 確率 3 0 0 2184/68880 2 1 0 7644/68880 2 0 1 7644/68880 1 2 0 7644/68880 1 1 1 16464/68880 1 0 2 7644/68880 0 3 0 2184/68880 0 2 1 7644/68880 0 1 2 7644/68880 0 0 3 2184/68880
従って、３人の子全員が親の第１捨て牌と同じ牌を捨てることが出来る確率は
68880/1771440 × 16464/68880 = 16464/1771440 = 約0.00929 = 約0.929％ (約1/108)
となります。
親が不用意に風牌を捨てたとしても、子が四風子連打で流せる確率はとても低いので、あまり気にすることはないでしょう。
[前提条件]牌は通常の34種類×4枚＝136枚とします。[計算方法]
計算に影響する特殊な牌（花牌・白ポッチなど）は含まないものとします。
子の十三不搭の場合は、それ以前に鳴きや和了がないものとします。
簡単な計算式では表せません。[計算結果]
場合分けをすれば手計算でも算出出来ますが、天和の確率を求めるプログラムを少し手直しするだけで計算出来ますので、プログラムで数えて計算することにします。
基本的な手順は天和の場合と同じです。具体的な手順は、次の通りです。
(1) 最初に、雀頭の１枚を除いた13枚がバラバラである組合せ数を計算します。 (2) まず、字牌と数牌のそれぞれについて、十三不搭を構成出来る各枚数毎の組合せの数を求めます。 (3) プログラム上は、天和の場合と同様に字牌、数牌のそれぞれについて、0枚〜14枚の場合全てについて数えていますが、実際は字牌は4枚〜7枚、数牌は0枚〜3枚の場合しかあり得ません。 (4) また、数える時に、国士無双の聴牌形を除外するために、全部が幺九牌の組合せも数えておきます。 (5) 字牌と数牌のそれぞれの組合せ数を数えた後、３種類の牌の合計が13枚になる全ての組合せについて、組合せ数を調べます。 (6) 上記の結果から、国士無双の聴牌形となっていたものを除きます。国士無双の聴牌形は、13枚の牌が全て異なる場合の１通りだけですので、重複を考えた組合せ数は413となります。 (7) そして、雀頭を追加した場合の組合せ数を計算します。
パターン数は13倍
重複を考えた組合せ数は13×4Ｃ2÷4Ｃ1倍＝19.5倍
すれば計算できます。(8) (7)の結果を総組合せ数で割ることにより、確率が計算できます。
総組合せ数は、天和の時と同様、136Ｃ14通りです。まず、(3)〜(4)の結果は次のようになります。
【字牌】
枚数 有効パターン数 組合せ数 幺九パターン数 組合せ数 0 1 1 1 1 1 7 28 7 28 2 21 336 21 336 3 35 2240 35 2240 4 35 8960 35 8960 5 21 21504 21 21504 6 7 28672 7 28672 7 1 16384 1 16384
【数牌】
枚数 有効パターン数 組合せ数 幺九パターン数 組合せ数 0 1 1 1 1 1 9 36 2 8 2 21 336 1 16 3 10 640 0 0
上記の表の値を使用して計算した結果が、次の通りです。
注 全組合せのパターン数及び組合せ数は、「天和の確率」で算出した値です。
パターン数 組合せ数 有効組合せ数合計 299711 20113264738304 内国士無双聴牌形 1 67108864 残り 299710 20113197629440 十三不搭組合せ 3896230 392207353774080 全組合せ 326520504500 4250305029168216000
以上により、十三不搭の確率は
392207353774080÷4250305029168216000
＝約0.00009228 (約1/10837)
となります。
[解説]１色の数牌すなわち１〜９の牌4枚ずつ計36枚から適当に13枚取った時に、それが聴牌形となっている確率です。[計算方法]
局の最初から清一色に走って、１色の数牌が13枚たまった時に聴牌している確率とも言えます。１色の数牌13枚のパターン数と重複分を含めた総組合せ数は、「天和の確率」の【数牌】の表にある93600と2310789600です。[計算結果]
聴牌形のパターン数は、「１色の数牌14枚が和了形である確率」で調べた13277通りの和了形パターンを使って以下のように計算します。
(1) 13277通りの和了形パターンそれぞれについて、牌を１枚ずつ取り除いて聴牌形を作り、重複するパターンを削除します。 (2) (1)で得られた全てのパターンについて、重複分を乗じて合計し、総組合せ数を計算します。 (3) (2)の結果を全パターンの総組合せ数で割ることにより、確率が計算出来ます。 [参考]
パターン数 総組合せ数 確率 備考 全体 93600 2310789600 100.0％ 聴牌形 40196 1122505864 48.6％ 約1/2
14枚の時に和了形の確率が約1/9であったことも予想外でしたが、13枚の場合は約半分が聴牌形というのも驚きですね。「１色の数牌14枚が和了形である確率」と「１色の数牌13枚が聴牌形である確率」に関連して、１色の数牌が13枚または14枚の場合の向聴数別のパターン数を調べましたので、以下にまとめます。
【13枚の場合】
注 三向聴以上となることはありません。また、二向聴もめったにありません。
パターン数 総組合せ数 確率 備考 聴牌形 40196 1122505864 48.6％ 約1/2 一向聴形 52791 1185398744 51.3％ 約1/2 二向聴形 613 2884992 0.1％ 約1/800 合計 93600 2310789600 100.0％
【14枚の場合】
注 13枚で二向聴の時、同種の牌を１枚自摸って不要牌を切れば、必ず一向聴になります。
パターン数 総組合せ数 確率 備考 和了形 13277 445632532 11.7％ 約1/9 １枚切って聴牌 91437 3052344932 80.4％ １枚切って一向聴 14086 298319736 7.9％ 約1/13 合計 118800 3796297200 100.0％
[解説]親の場合は14枚の配牌、子の場合は第１自摸を加えた14枚から１枚切って清一色聴牌となる確率です。[計算式]
子の場合は、第１自摸より前に鳴き・和了がないことが前提条件です。
最初の14枚で和っている場合は含めないことにします。今までに計算済みの値を利用して、場合分けをすることにより計算出来ます。[計算結果]
(1) 切る牌が同一種類の牌の場合と異なる種類の牌の場合に分けて考えます。 (2) 同一種類の場合は、「１色の数牌13枚が聴牌形である確率」の[参考]の、【14枚の場合】の「１枚切って聴牌」の総組合せ数（3052344932）となります。 (3) 異なる種類の場合は、同【13枚の場合】の「聴牌形」の総組合せ数（1122505864）に他種の牌（25種×4枚）を１枚追加した組合せ数を計算します。 (4) (2)と(3)の合計を14枚の牌の総組合せ数（136Ｃ14）で割り、それを３倍（数牌の種類）すれば求める確率となります。
つまり、計算式は （3052344932＋1122505864×25×4）÷4250305029168216000×3 となります。345908793996÷4250305029168216000
＝約0.00000008138 (約1/1229万)
この確率は聴牌だけの確率で、和れない確率も含んでいるわけですが、それでも天和の約37倍珍しいということになりますね。
[解説]配牌で聴牌している確率、一向聴の確率、二向聴の確率、…と、その確率から算出出来る平均向聴数の計算です。[計算方法]
親の場合は、上記に加えて「和了形の確率」がありますが、これは天和の確率と同じです。簡単な計算式で計算するというわけにはいきません。天和の確率の計算と同様の方法で計算します。[計算結果]
(1) 字牌及び数牌のそれぞれについて、0枚〜14枚の各枚数毎の全てのパターンについて、向聴数の計算の元となるパラメータを調べ、パラメータ毎に分類します。 (2) 向聴数の計算の元となるパラメータは、一般形のための「牌をあと何枚追加すれば（雀頭＋）Ｎ個の面子になるか」と、七対子のための「対子(以上)の数及び単独牌の数」、そして国士無双のための「幺九牌の種類の数及び雀頭となる幺九牌があるかどうかのフラグ」です。 (3) 上記の分類毎に、パターン数及び総組合せ数を求めておきます。 (4) ４種類の牌の合計が13枚または14枚となる全ての組合せについて、組合せ数及び向聴数を求め、向聴数毎に集計します。 (5) (4)で求めた結果を総組合せ数の合計（136Ｃ13または136Ｃ14）で割ることにより、それぞれの確率が計算出来ます。また、向聴数を乗じて合計したものを総組合せ数の合計で割れば、平均向聴数となります。平均向聴数を求めるにあたって、「聴牌形」は「０向聴」とみなすのが合理的ですが、14枚の場合の「和了形」は扱いに困りますので、（分母からも）除外して考えることにします。実際は和了形の割合が極めて小さいので、もし「和了形」を「０向聴」や「-1向聴」とみなして計算したとしても、値は小数第４位まで変わりません。 (6) 向聴数で、一般形（雀頭＋４面子）以外を除外して考えることもありますので、一般形のみの場合についても計算しました。 【七対子・国士無双も含めた最小向聴数】
[13枚(子)の場合]
※平均向聴数＝1731757846767061316÷483774556165488000＝約3.580
向聴 パターン数 総組合せ数 確率 備考 聴牌形 92371838 39270395383132 1/12319 子の配牌聴牌確率 一向聴 3853879869 3006175115638776 1/161 二向聴 26789930989 45249205945148216 9.4％ 三向聴 44415586270 175141291509958900 36.2％ 四向聴 20654119377 192909046305573888 39.9％ 五向聴 2655427013 63384201353756672 13.1％ 六向聴 60280644 4045365540028416 1/120 合計 98521596000 483774556165488000 100％ 総組合せ数＝136Ｃ13
※確率欄の値は概数です。
[14枚(親)の場合]
※平均向聴数＝13413711220546219200÷4250292170090008326＝約3.156
向聴 パターン数 総組合せ数 確率 備考 和了形 16873619 12859078207674 1/330530 天和の確率 聴牌形 2133064968 2966241795738948 1/1433 ダブル立直確率 一向聴 35934777211 99154452630748356 2.3％ 二向聴 130938507660 828714358375292670 19.5％ 三向聴 121685916468 1867404976243926528 43.9％ 四向聴 33290266817 1211948980271480832 28.5％ 五向聴 2496505635 233501763289743360 5.5％ 六向聴 24592122 6601397483077632 1/644 合計 326520504500 4250305029168216000 100％ 総組合せ数＝136Ｃ14
※確率欄の値は概数です。
【一般形のみを考えた場合の向聴数】
[13枚(子)の場合]
※平均向聴数＝1831476779756155204÷483774556165488000＝約3.786
向聴 パターン数 総組合せ数 確率 聴牌形 54747045 32244742336860 1/15003 一向聴 2318210748 2462555550248952 1/196 二向聴 18521094520 36992212761231160 7.6％ 三向聴 40311144206 150520686671360244 31.1％ 四向聴 28348596450 185259337372953600 38.3％ 五向聴 8048161086 89843375028568064 18.6％ 六向聴 885943636 17455607501553664 3.6％ 七向聴 33398598 1188423272497152 1/407 八向聴 299711 20113264738304 1/24053 合計 98521596000 483774556165488000 100％
※確率欄の値は概数です。
[14枚(親)の場合]
※平均向聴数＝14092221711682799808÷4250293676040074502＝約3.316
向聴 パターン数 総組合せ数 確率 和了形 11498658 11353128141498 1/374373 聴牌形 1407507075 2560073618528580 1/1660 一向聴 24534145015 84836864591965380 2.0％ 二向聴 104744544266 708866296874217726 16.7％ 三向聴 131618303547 1732690933213527552 40.8％ 四向聴 53783938428 1270342844384821248 29.9％ 五向聴 9718513527 398021022894784512 9.4％ 六向聴 685882185 50748272871997440 1.2％ 七向聴 16090769 2205616265232384 1/1927 八向聴 81030 21751324999680 1/195404 合計 326520504500 4250305029168216000 100％
※確率欄の値は概数です。
[解説]「12. 配牌における聴牌確率及び平均向聴数」の三人麻雀版です。[前提条件]
親の場合の「和了形の確率」がそのまま天和の確率となっています。牌は、四人麻雀で使用する通常の34種類から２萬〜８萬を除いた27種類×4枚＝108枚とします。[計算方法]
三人麻雀の場合は特有のルールが付加されることが多いようですが、いろいろなルールの場合について計算しているときりがありませんので、ここでは確率計算に影響するローカルルールは一切ないものとして計算します。四人麻雀の場合と同様、簡単な計算式で計算するというわけにはいきません。[計算結果]
計算の方法は「12. 配牌における聴牌確率及び平均向聴数」と同様ですので、ここでは省略します。[13枚(子)の場合]
※平均向聴数＝69892859321960160÷20592957740312160＝約3.394
向聴 パターン数 総組合せ数 確率 備考 聴牌形 17864220 4248510347840 1/4847 子の配牌聴牌確率 一向聴 552121421 243214955934944 1.2％ 二向聴 2703243800 2732462104034240 13.3％ 三向聴 3178038880 8169994696659840 39.7％ 四向聴 1091914759 7581335897696256 36.8％ 五向聴 89698182 1820816976642048 8.8％ 六向聴 609228 40884598996992 1/504 合計 7633490490 20592957740312160 100％ 総組合せ数＝108Ｃ13
※確率欄の値は概数です。
[14枚(親)の場合]
※平均向聴数＝413466081838216752÷139736605636149152＝約2.959
向聴 パターン数 総組合せ数 確率 備考 和了形 3544383 1321887397648 1/105711 天和の確率 聴牌形 324512039 229204302023024 1/610 ダブル立直確率 一向聴 3861801145 5666836324035120 4.1％ 二向聴 9513954050 35089291127101440 25.1％ 三向聴 6280719312 61289092707873792 43.9％ 四向聴 1274481820 33570528047677440 24.0％ 五向聴 51086370 3878645818982400 2.8％ 六向聴 48456 13007308455936 1/10743 合計 21310147575 139737927523546800 100％ 総組合せ数＝108Ｃ14
※確率欄の値は概数です。
[解説]流局した時、自分の手牌と捨て牌からどの14枚を選んでも和了形にならない確率です。[前提条件]
14枚で和了形にならない場合でも、13枚を選んで聴牌形になれば栄和出来る可能性があったことになりますが、栄和は計算出来ませんので除外します。すなわち、「どう摸打しても門前清自摸和では和れない確率」ということになります。牌は通常の34種類×4枚＝136枚とします。[計算方法]
計算に影響する特殊な牌（花牌・白ポッチなど）は含まないものとします。
誰も鳴かないものとします。計算の方法は、基本的に「12. 配牌における聴牌確率及び平均向聴数」と同じです。[計算結果]
東家と南家は流局時の捨て牌が18枚ですので手牌と合わせて31枚、西家と北家は流局時の捨て牌が17枚ですので手牌と合わせて30枚となります。「12. 配牌における聴牌確率及び平均向聴数」では「13枚」または「14枚」の場合を計算しましたが、これを「30枚」または「31枚」に変えるだけで計算出来ます。ただし、枚数の増加に対して組合せ数は指数関数的に増加するため、素直に枚数を増やすだけでは計算に膨大な時間がかかりますので、ある程度の工夫が必要となります。「和れない確率」は30枚及び31枚の場合だけ計算すれば良いのですが、途中及びそれ以上の枚数に対する和了形比率の変化も見るため、13枚〜38枚について計算しました。
※平均向聴数の計算において、和了形の組合せ数は除外しています。
枚数 和了形比率 聴牌形比率 平均向聴数 13枚 0.0％ 1/12319 3.580 14枚 1/330530 1/1433 3.156 15枚 1/27667 1/296 2.744 16枚 1/4411 1.1％ 2.360 17枚 1/1011 2.9％ 2.015 18枚 1/298 6.2％ 1.710 19枚 1/106 11.3％ 1.439 20枚 2.3％ 18.1％ 1.196 21枚 4.8％ 26.0％ 0.977 22枚 9.2％ 33.9％ 0.780 23枚 15.9％ 40.5％ 0.605 24枚 25.3％ 44.1％ 0.454 25枚 37.2％ 43.4％ 0.327 26枚 50.9％ 38.4％ 0.225 27枚 64.9％ 30.0％ 0.146 28枚 77.6％ 20.5％ 0.087 29枚 87.5％ 11.9％ 0.046 30枚 94.1％ 5.8％ 0.020 31枚 97.7％ 2.2％ 0.006 32枚 1-1/150 1/151 1/850 33枚 1-1/731 1/731 1/8040 34枚 1-1/5903 1/5903 1/168710 35枚 1-1/94838 1/94838 0 36枚 1-1/3752241 1/3752241 0 37枚 1-1/517893355 1/517893355 0 38枚 100％ 0 −
※38枚以上で和了形確率100％となります。すなわち、136枚から任意の38枚を取ると、その中に必ず和了形が含まれているということです。
※表内の値は概数です。全て正確な値がわかっていますが、分数の桁数が多く表が巨大になってしまいますので、四捨五入した値だけを掲載することにしました（例えば、31枚の和了形比率は 4021883596737187393078380370304÷4114913090826809319806610610560 です）。
上表からわかるように、31枚の和了形比率は97.7％ですから、東家及び南家が「絶対に和れない確率」は2.3％、同様に西家及び北家は5.9％となります。
上表の「和了形比率」の数値を「うまい人ならこの確率で和れる」と勘違いしないようにして下さい。これはあくまでも全部の牌が明らかになった結果の確率、言い換えれば「透視能力があって自摸予定牌が全部わかっている場合に和れる確率」です（従って、現実に役立つ数値ではありません）。
参考までに、「（鳴きがない場合に）絶対に聴牌出来ない確率」は、東家及び南家では1/7239、西家及び北家では1/855となります。