漸化式-Ⅰ


［Ⅰ］ａn+1＝ａn＋ｄ （ｄは定数）
　　　この関係式は等差数列を表します。また、ａn＝ａn-1＋ｄ 　と表すこともあります。
［Ⅱ］ａn+1＝ｒａn （ｒは定数）
　　　この関係式は等比数列を表します。また、ａn＝ｒａn-1 　と表すこともあります。
［Ⅲ］ａn+1＝ａn＋ｆ（ｎ） （ｆ（ｎ）はｎ の関数）
　　　この関係式は｛ａn｝の階差数列が ｆ（ｎ）で表せることを示します。また、ａn＝ａn-1＋g（ｎ）　と表すこともありま
　　　す。g（ｎ）＝ｆ（ｎ－１）　ですが、ここではこの関連は深く考えなくてもいいです。次の例題で、納得してください。

漸化式にはいろいろの形がありますが、適当な変形を施すことで［Ⅰ］，［Ⅱ］，［Ⅲ］　のどれかになるものが多い。
（なお、［Ⅲ］で ｆ（ｎ）が定数ならば、等差数列になります。）


｛ａn｝が ａn＝ａn-1＋２ｎ　の関係を満たすとき、ａnを ａ1を用いて表せ。
解答例
　　　　 　ａn－ａn-1＝２ｎ　　で番号を順に下げていくと　　
　　　　ａn-1－ａn-2＝２（ｎ－１）　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　ａn-2－ａn-3＝２（ｎ－２）　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　・　　　　　　　　====================＞ ａn－ａ1＝２｛ｎ＋（ｎ－１）＋（ｎ－２）＋・・・＋２｝
　　　　　　　　　　　・　　　　　　 　　　こららを全て加える　　 　　
　　　　　　　　　　　・　　　　　　（ここで、関係式　ａn－ａn-1＝２ｎ　の番号は、ａ2－ａ1＝２・２　の番号以上である必要がある）
　　　　　　ａ2－ａ1＝２・２　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　↓
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ≧２　の条件がつきます。
　　　　よって ｎ≧２　のとき、 ａn＝２｛ｎ＋（ｎ－１）＋（ｎ－２）＋・・・＋２｝＋ａ1　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２・ １
２		 （ｎ－１）（ｎ＋２） ＋ａ1　（ここでは、ａn は n≧２ で定義されています。）
　　　　これに、ｎ＝１　とすると、ａn＝ａ1　となり　ｎ＝１でも成り立つ。
　　　　よって全ての自然数（ｎ＝１，２，３，・・・・）で　ａn＝（ｎ－１）（ｎ＋２）＋ａ1
　　　　辺々加えた部分の計算の表し方は、普通Σを用いて表します。
　 　　　つまり　　 （ａk－ａk-1） ＝ ２ｋ　　　となります。漸化式の両辺に がついただけです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　この計算は、うえで示したものです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　この形は、教科書に載っている公式と違いますが、内容は同じです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 次の例題を解いてください。違いが理解できると思います。


｛ａn｝が ａn+1＝ａn＋２ｎ　の関係を満たすとき、ａnを ａ1を用いて表せ。
解答例
　　　　ａn+1＝ａn＋２ｎ　　より　ａn+1－ａn＝２ｎ　　として、　 （ａk+1－ａk）＝ ２ｋ 　・・・①　ただし、ｎ≧２ 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（表現はよくないですが、Σ上の番号と下の番号の関係から、ｎ－１≧１）
　　　　　　　ここで、 （ａk+1－ａk）＝（ａ2－ａ1）＋（ａ3－ａ2）＋（ａ4－ａ3）＋・・・＋（ａn－ａn-1）＝ａn－ａ1 　
　　　　　　　　であるから、①より　　ａn－ａ1＝ １
２		 （ｎ－１）ｎ 　　よって、　ａn＝ａ1＝＋ １
２		 （ｎ－１）ｎ
　　　　　　　　これに、ｎ＝１　としても成り立つので、　ａn＝ａ1＝＋ １
２		 （ｎ－１）ｎ
　　　　　　　すっきりした答案にするためにこのようにまとめていますが、慣れるまでは、前問の解答例のように　　　　　　　順に番号を　　ａ2－ａ1＝２ 　まで下げて、辺々加えてください。　　　
　　　　　　　また、①を計算して、整理したら、教科書にある公式になります。
　　　　　　　さらに、ａn+1－ａn＝２ｎ　の番号を下げた　ａn－ａn-1＝２（ｎ－１）　として、
　　　　　　　　　　　　両辺にΣを施した　 （ａk－ａk-1）＝ ２（ｋ－１）　　としても ① と同じです。


以上の例題は、階差数列からの一般項の求め方です。次は、漸化式の典型：線形漸化式です。

｛ａn｝が ａn+1＝２ａn＋２　の関係を満たすとき、ａnを ａ1を用いて表せ。
　★　この形式の漸化式は、適当な変形で、等差、等比、階差などの形にもっていくことです。
　　　　ａn+1－α＝２（ａn－α）　となるαが存在すれば、｛ａn－α｝　は公比 ２　の等比数列になる。
　　　　ａn+1－α＝２（ａn－α）　を変形して、ａn+1＝２（ａn－α）＋α　・・・①
　　　　この①と与えられた漸化式を比較して、　－２α＋α＝２　　つまり　　α＝－２　
　　　　よって、与えられた漸化式は、　　　ａn+1＋２＝２（ａn＋２）　　となるので、
　　　　　　｛ａn＋２｝　は公比 ２、初項 ａ1＋２ 　の等比数列になる。
　　　　　　　　　　ａn ＋２＝（ａ1＋２）２ n-1 　よって、ａn＝（ａ1＋２）２ n-1－２　　　
解法に慣れるまでは、ａn＋２＝ｂn と置換したほうが解きやすいかもしれませんが、
置換しないでも解答できるようにして下さい。



　 　　 　　 　　 　　　　　 漸化式
ＰＡＲＴⅡ