漸化式-�U

｛ａn｝が ａn＝２ａn-1＋２ｎ　の関係を満たすとき、ａnを ａ1を用いて表せ。

この問題だけでなく、ａn−ｆ（ｎ）＝ｋ｛ａn-1−ｆ（ｎ−１）｝　・・・�@　として解くのが一般的です。 　　まず、この問題では２ｎに着目して、　　ａn＋２ｎ＝２｛ａn-1＋２（ｎ−１）｝＋４　　　と変形します。 　　ここで、　ａn＋２ｎ　を一塊に考えれば、線形の漸化式になります。 　　　　　よって、　　　ａn＋２ｎ＋４＝２｛ａn-1＋２（ｎ−１）＋４｝　　となるので、 　　　｛ａn＋２ｎ＋４｝は、公比 ２、初項 ａ1＋６　　の等比数列になるので、 　　　　　　　ａn＋２ｎ＋４ ＝２ n-1 （ａ1＋６） 　より、　ａn＝２ n-1 （ａ1＋６）−２ｎ−４　　 　　　変形のやり方にある程度の応用力が必要です。慣れるまでは、恒等式を利用してもいいです。 　　　恒等式を利用するには、この例題では、ｆ（ｎ）が ｎ の一次式であることは見当がつくので、 　　　ｆ（ｎ）＝ｐｎ＋ｑ　とおきます。これで、ｆ（ｎ−１）＝ｐ（ｎ−１）＋ｑ　　となり、�@ に代入して、 　　　ａn−（ｐｎ＋ｑ）＝ｋ｛ａn-1−ｐ（ｎ−１）＋ｑ｝　として、問題の　ａn＝２ａn-1＋２ｎ　と係数比較します。 ｛ａn｝が ａn＝２ａn-1＋２ｎ 2 　の関係を満たすとき、ａnを ａ1を用いて表せ。 解答例　　（ここでは、変形を考えるより恒等式の利用が簡単で速い） 　　　　ａn−ｆ（ｎ）＝２｛ａn-1−ｆ（ｎ−１）｝　　となるｆ（ｎ）を、ｆ（ｎ）＝ｐｎ 2 ＋ｑｎ＋ｒ　とすると、 　　　　ａn−（ｐｎ 2 ＋ｑｎ＋ｒ）＝２｛ａ n-1−（ｐ(ｎ−１) 2 ＋ｑ(ｎ−１)＋ｒ）｝　　より、 　　　　ｐｎ 2 ＋ｑｎ＋ｒ−２｛（ｐ(ｎ−１) 2 ＋ｑ(ｎ−１)＋ｒ）｝＝２ｎ 2 　　　がすべてのｎで成立するので、 　　　　　　　　　　　　　　−ｐ＝２ 　　　　　　　　　　　　４ｐ−ｑ＝０ 　　　　 　　　−ｒ−２ｐ−２ｑ＝０ 　　より、　ｐ＝−２，ｑ＝−８，ｒ＝２０ 　　　　　ｆ（ｎ）＝−２ｎ 2 −８ｎ＋２０　　によって定まる　｛ａ n−ｆ（ｎ）｝　は公比２，初項ａ1−１０　の等比数列 　　　　よって、ａ n−ｆ（ｎ）＝２ n-1 （ａ1−１０） 　より　ａn＝２ n-1 （ａ1−１０）−２ｎ 2 −８ｎ＋２０　 ｛ａn｝が ａn＝３ａn-1−２ａn-2　の関係を満たすとき、ａnを ａ1，ａ2を用いて表せ。 解答例（特性方程式で解答するだけではありません。） 　　　　 ａn＝（２＋１）ａn-1−２ａn-2　より　　ａn−２ａn-1＝ａn-1−２ａn-2　，　ａn−ａn-1＝２（ａn-1−ａn-2） 　　　　　ａn−２ａn-1＝ａn-1−２ａn-2＝ａn-2−２ａn-3＝・・・・・＝ａ2−２ａ1　・・・�@ 　 　 　　ａn−ａn-1＝２（ａn-1−ａn-2）＝２ 2 （ａn-2−ａn-3）＝・・・・・＝２ n-2 （ａ2−ａ 1）　・・・�A 　　　　　�AＸ２−�@　より、ａn＝２ n-1 （ａ2−ａ1）−ａ2＋２ａ1　　 　　　中央の項の変形で、あっさりできます。ここでは、番号を下げて解きましたが、等比数列で解答してもＯＫです。 　　　また一方が階差数列を表すときでも連立で解いた方が楽です。）

---

次の漸化式が成り立つ数列の一般項を求めよ。 （１）ａn＝ｎａn-1，ａ1＝１　　　（２）ａn＝２ａn-1＋３ n ，ａ1＝１　　　（３）（ｎ−１） ａn＝ｎａn-1＋１，ａ1＝１

（１）　（この解法は、和と積の違いで階差の解法に似ています。） 　　　 番号を順に下げていきます。 　　　　　　　 ａn＝ｎａn-1，ａn-1＝（ｎ−１）ａn-2，ａn-2＝（ｎ−２）ａn-3，・・・・，ａ2＝２ａ1 　　　 ここで、最初の漸化式の番号と最後の漸化式の番号の関係から、ｎ≧２　で、これらを辺々掛けると、 　　　　 ａnａn-1ａn-2・・・ａ2＝ｎａn-1（ｎ−１）ａn-2（ｎ−２）ａn-3・・・２ａ1　　 　　　　また、ａ1＝１　であるので全ての項について、ａn≠０　である。 　　　　　　　　　よって　ａn＝ｎ！　（これは、ｎ＝１でも成り立つ。）　 　　　　＊　辺々掛け算をしたが、順に代入してもよい。（普通はこの方法を使います。） 　　　　　　　ａn＝ｎａn-1＝ｎ（ｎ−１）ａn-2＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）ａn-3＝・・・・＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）・・・２ａ1

（２）　３

n

で割る方法と、ｆ（ｎ）を用いる二通りの方法があります。

［１］３

n

で割る方法

両辺を３

n

で割ると、

ａn . ３ n

＝

２ ３

・

ａn-1 . ３ n-1

＋１　より、

ａn . ３ n

−３＝

２ ３

(

ａn-1 . ３ n-1

−３

)

となるので、

数列

{

ａn . ３ n

−３

}

は、公比

２ ３

、初項

ａ1 .３

−３＝−

８ ３

の等比数列であるから、

　　

.

ａn . ３ n

−３＝−

８ ３

・

(

２ ３

)

n-1

＝−４

(

２ ３

)

n

よって、ａn＝３

n+1

−２

n+2

［２］ｆ（ｎ）を用いる方法

ここでは、ｆ（ｎ）＝ｋ３

n

（ｋはｎに無関係な定数）　として、ａn−ｋ３

n

＝２（ａn-1−ｋ３

n-1

）

　　　　　　与式を成り立たせるには、ｋ＝３　である。

よって、　ａn−３

n+1

＝２（ａn-1−３

n

）＝２

2

（ａn-2−３

n-1

）＝・・・＝２

n-1

（ａ1−３

2

）＝−２

n+1

ａn＝３

n+1

−２

n+2

となる。

　　　　どちらの解法でもいいですが、個人的には、後半の［２］の解法が私の好みです。

（３）　両辺をｎ（ｎ−１）で割ると、

ａn .ｎ

＝

.ａn-1 ｎ−１

＋

１　　. ｎ（ｎ−１）

＝

.ａn-1 ｎ−１

＋

１　. ｎ−１

−

１ ｎ

よって、

ａn .ｎ

＋

１ ｎ

＝

.ａn-1 ｎ−１

＋

１　. ｎ−１

＝・・・・・＝

ａ1 .１

＋１

＝２

より　　ａn＝２ｎ−１

＊階差数列を利用してもいいですが、形をそろえると簡単です。

　

応用