数学的帰納法と漸化式の応用-�U

ｎ≧１で定義できる｛ａn｝の初項から ｎ項までの和Ｓnが、 Ｓn＝２ａn＋ｎ 2 　の関係を満たすとき、ａnを求めよ。 解答例 　　　　ｎ≧２　ａn＝Ｓn−Ｓn-1＝２ａn＋ｎ 2 −｛２ａn-1＋（ｎ−１） 2 ｝＝２ａn−２ａn-1＋２ｎ−１ 　　　　　　　　より、　　ａn＝２ａn-1−２ｎ＋１　・・・�@　　となる。 　　　　　　　　これは、ｎ≧２で成立するので、ａ2＝２ａ1−１　も成立する。， 　　　　　　　　　　　　　（ｎ≧２はａ 2からを定義するのでなく、ａ 1，ａ 2 の関係から定義できることに注意） 　　　　　　　　�@を変形して、　ａn−２ｎ＝２｛ａn-1−２（ｎ−１）｝−３　（まず、ｎ に着目。ｆ（ｎ）を求めてもよい） 　　　　　　　　さらに、　　　ａn−２ｎ−３＝２｛ａn-1−２（ｎ−１）−３｝ 　となるので、 　　　　　　　　数列　ａn−２ｎ−３　は、初項 ａ1−５，公比 ２　の等比数列である。 　　　　　　　　また、ａ1は、Ｓn＝２ａn＋ｎ 2 　に　ｎ＝１　として、ａ1＝−１　　 　　　　　　　　よって、ａn−２ｎ−３＝２ n-1 ・（−６）　より、ａn＝２ｎ−３・２ n ＋３　となる。 ｎ≧１で定義できる｛ａn｝の初項から ｎ項までの和Ｓnが、 Ｓn＝２ａn+1＋ｎ 2 　の関係を満たすとき、ａnを求めよ。 必要ならば、ａ1，ａ2を用いてもよい。 解答例 　　　　ｎ≧２ において、ａn＝Ｓn−Ｓn-1＝２ａn+1＋ｎ 2 −｛２ａn＋（ｎ−１） 2 ｝＝２ａn+1−２ａn＋２ｎ−１ 　　　　　　　　よって、　２ａn+1＝３ａn−２ｎ＋１＝３ａn＋４（ｎ＋１）−６ｎ−３ 　　　　　　　　　　　 　　 ２ａn+1−４（ｎ＋１）＝３ａn−６ｎ−３＝３ａn−６ｎ＋６−９　（−３を変形） 　　　　　　　　　　　 　　 ２ａn+1−４（ｎ＋１）−６＝３ａn−６ｎ−９ 　　　　　　　　　　　 　　 ａn+1−２（ｎ＋１）−３＝ ３ ２ （ａn−２ｎ−３）　・・・�@　となる。 　　　　　　　　�@式はｎ≧２の隣接二項間について成り立つので、　ａn−ｎ−３＝ ( ３ ２ ) n-2 ・（ａ2−４−３） 　　　　　　　　　　　　よって、　　ｎ≧２で、ａn＝ ( ３ ２ ) n-2 ・（ａ2−７）＋２ｎ＋３　　 初項はａ1 　　　　　　　　　＊　　特に、上式でｎ＝１として　 ( ３ ２ ) -1 ・（ａ2−７）＋２＋３＝ ａ1 　の関係が成り立てば、 　　　　　　　　　　　　　　全ての自然数で、ａn＝ ( ３ ２ ) n-1 ・（ａ1−５）＋２ｎ＋３ （２ ＋ ） n ＝ａn ＋ ｂn　（ｎ＝１，２，３，・・・・・）　となる有理数 ａn，ｂn を求めよ。 解答例 　　　　ｎ＝１　とすると、ａ1＝２，ｂ1＝１・・・［１］ 　　　　ここで、（２ ＋ ） n+1 ＝（ａn ＋ ｂn） n （２ ＋ ）＝２ａn＋３ｂn ＋ （ａn＋２ｂn）　より、 　　　　　　　　ａn+1＝２ａn＋３ｂn ，ｂn+1＝ａn＋２ｂn 　・・・［２］ 　　　　　　（２ ＋ ） -n ＝（ａn ＋ ｂn） -1 ＝（ａn − ｂn）・（ａn ＋ ｂn） -1 ・（ａn − ｂn） -1 　・・・［３］ 　　　　　　　　　　　　　数式入力の関係で指数で記入しています。分数数式に直すと考えやすくなります。 　　　　　　ここで、（ａn ＋ ｂn） -1 ・（ａn − ｂn） -1 ＝｛（ａn ＋ ｂn）（ａn − ｂn）｝ -1 ＝（ａn 2 −３ｂn 2 ） -1 　　　　　　関係式［１］，［２］より　 　ａn+1 2 −３ｂn+1 2 ＝（２ａn＋３ｂn） 2 −３（ａn＋２ｂn） 2 ＝ａn 2 −３ｂn 2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ＝ａn-1 2 −３ｂn-1 2 ＝・・・＝ａ1 2 −３ｂ1 2 ＝１ 　　　　　　よって関係式［３］は、（２ − ） n ＝（２ ＋ ） -n ＝ａn − ｂn　　となる。　 　　　　　　これと、与式を連立させると、 　　　　　　ａn＝ １ ２ ｛（２ ＋ ） n ＋（２ − ） n ｝　，ｂn＝ ｛（２ ＋ ） n −（２ − ） n ｝ 　 　　　　　　　　　　　　　これは入試でよく出題される問題です。