順列と組み合わせ・確率

この分野は「同じものを重複して数えたり、見落としたり」などのミスが出やすい分野です｡ 　　また、考え方が種々あるのもこの分野の特徴です。 例題1　　ａ，ｂ，ｂ，ｃ，ｃ，ｃ，ｄ，ｄ，ｄ，ｄ，の４種１０個の文字について次の問いに答えよ。 　　　　（１）１０個の文字の順列の総数を求めよ。 　　　　（２）１０個の文字の順列のなかで、ｄが隣り合わない順列はいくつあるか。 　　　　（３）１０個の文字から５個を選んでできる順列の総数を求めよ。 解答例 　（１）ｂが２個、ｃが３個、ｄが４個あるので　 　　１０！　 . ２！３！４！ ＝１２６００　 　　　　ここで、同じ物を含む順列について少し説明します。 　　　　［考え方１］ 　　　　　　　　　　１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０　という番号を用意します。この番号にａ，ｂ，ｃ，ｄ 　　　　　　　　　　を当てはめると　ａ，ｂ，ｂ，ｃ，ｃ，ｃ，ｄ，ｄ，ｄ，ｄ，の順列になります。 　　　　　　　　　　まず、ａ を当てはめる方法（ａ の入れたか）は１０通りです。（ 10 Ｃ 1 でもよい） 　　　　　　　　　　次に ｂ を当てはめるのですが、ａ が１箇所入ったので残った９箇所から２つ選んで、 　　　　　　　　　　入れることになります。だから、ｂ，ｂ を当てはめる方法は、 9 Ｃ 2 となります。 　　　　　　　　　　同様に　ｃ，ｃ，ｃ，は、 7 Ｃ 3 となります。 　　　　　　　　　　最後の　ｄ，ｄ，ｄ，ｄ，は、必然的に残った４箇所になります。（ 4 Ｃ 4 でもよい） 　　　　　　　　　　よってその総数は 10 Ｃ 1 ・ 9 Ｃ 2 ・ 7 Ｃ 3 ・ 4 Ｃ 4 となり、上の計算式と一致します。 　　　　［考え方２］　 　　　　　　　　　　ａ，ｂ 1 ，ｂ 2 ，ｃ 1 ，ｃ 2 ，ｃ 3 ，ｄ 1 ，ｄ 2 ，ｄ 3 ，ｄ 4 ，のように区別して考えると 　　　　　　　　　　ｂ 1 ｂ 2 　と　ｂ 2 ｂ 1 　の２個の順列は異なる。　　同様に 　　　　　　　　　　ｃ 1 ｃ 2 ｃ 3 ，ｃ 1 ｃ 3 ｃ 2 ，ｃ 2 ｃ 1 ｃ 3 ，ｃ 2 ｃ 3 ｃ 1 　　　　　　　　　　ｃ 3 ｃ 2 ｃ 1 ，ｃ 3 ｃ 1 ｃ 2 　　　の６個の順列は異なる。　ｄ についても同様である。 　　　　　　　　　　つまり、文字の区別がないときは、ｂ については　２！＝２個で１個、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃ については　３！＝６個で１個、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｄ については　４！＝２４個で１個、　となるので 　　　　　　　　　　　　　　　　　求める個数は、　 　　　１０！ 　 . ２！・３！・４！ 　となる。 　　　　　この二通りの考え方はどちらも重要です。 　　　　　また、ある等式を証明するのに、異なる考え方から導く方法でもあります。 　（２）　ｄ の個数が少なければ（３個まで）、ｄ が隣り合う順列を考えもよいが ４ 個になると面倒になる。 　　　　　　（２個だけが隣り合う、２個と２個、３個、４個） 　　　　　条件に合う順列を考えたのが簡単です。 　　　　　ｄ を除いた　ａ，ｂ，ｂ，ｃ，ｃ，ｃ，の順列を考えると、個数は、 　　６！ . ２！・３！ ＝６０　となる。 　　　　　ここで、この一つの順列として　ｂ，ｃ，ｃ，ａ，ｃ，ｂ　を考える。 　　　　　　　この、各文字の間と、最初と最後の７箇所に ４個の ｄ を当てはめればよい。 　　　　　　　この当てはめ方は、 7 Ｃ 4 ＝３５　通りある。よって、求める個数は、６０Ｘ３５＝２１００　個 　（３）　５個の文字の選び方から考える必要があります。 　　　　（ア）ｄ，ｄ，ｄ，ｄ　と（ａ，ｂ，ｃ）の１個　　ａ，ｂ，ｃ　の選び方は、３通り 　　　　　　　　　　　　　　　　　よってこの順列は、 ５！ ４！ ・３＝１５ 　　　　（イ）ｄ，ｄ，ｄ　と（ａ，ｂ，ｃ）の２個　　ａ，ｂ，ｃ　の選び方は、３通り 　　　　　 　 c，c，c　と（ａ，ｂ，ｄ）の２個　　ａ，ｂ，ｄ　の選び方は、３通り 　　　　　　　　　　　　　　　　　よってこの順列は、 ５！ ３！ ・６＝１２０ 　　　　（ウ）（ｄ，ｄ，ｄ，と ｂ，ｂ），（ｄ，ｄ，ｄ，と ｃ，ｃ），（ｃ，ｃ，ｃ，と ｂ，ｂ），（ｃ，ｃ，ｃ，と ｄ，ｄ） 　　　　　　　　　　　　　　　　　よってこの順列は、 　　５！ . ２！・３！ ・４＝４０ 　　　　（エ）（ｄ，ｄ， ｂ，ｂ）と（ａ，ｃ）の１個，（ｄ，ｄ，ｃ，ｃ）と（ａ，ｂ）の１個，（ｃ，ｃ，ｂ，ｂ）と（ａ，ｄ）の１個 　　　　　　　　　　　　　　　　　よってこの順列は、 　　５！ . ２！・２！ ・６＝１８０ 　　　　（エ）（ａ，ｂ，ｂ，ｃ，ｄ），（ａ，ｂ，ｃ，ｃ，ｄ），（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｄ） 　　　　　　　　　　　　　　　　　よってこの順列は、 ５！ ２！ ・３＝１８０ 　　　　　　　　　　　以上（ア）〜（エ）の合計で、　５３５　通り 例題２　　ｎ 個の要素ならなる集合Ａ がある。この集合の部分集合を考えることで、 　　　　　　等式 n Ｃ 0 ＋ n Ｃ 1 ＋ n Ｃ 2 ＋・・・・・＋ n Ｃ n ＝２ n 　　が成り立つことを示せ。 解答例 　　　　ｎ個の各要素に対して、部分集合の「要素になる」　ｏｒ　「要素にならない」　の二通りがあるので 　　　　　　　　　　　　　　部分集合の種類は、　２ n 　通りある。 　　　　　次に、部分集合のの要素の個数が ｋ個のものは n Ｃ k 通りあるので、 　　　　　　部分集合の総数は　 n Ｃ 0 ＋ n Ｃ 1 ＋ n Ｃ 2 ＋・・・・・＋ n Ｃ n 　　と表せる。 　　　　　よって　等式 n Ｃ 0 ＋ n Ｃ 1 ＋ n Ｃ 2 ＋・・・・・＋ n Ｃ n ＝２ n 　　が成り立つ。 例題３　　さいころを ｎ回投げたとき最大の目がｋ（＝１，２，・・・，６）である確率を求めよ。 解答例 　　　　まず、一回の試行で、１〜ｋ までの目がでる確率は、 ｋ ６ 　であるから、 　　　　　　　　　　ｎ回の試行全てで、１〜ｋ までの目がでる確率は、（ ｋ ６ ） n である。 　　　　この試行のなかには、ｋの目が一回も出ないときが含まれているので、 　　　　１〜ｋ−１ までの目がでる確率を除けばよい。 　　　　　よって、求める確率は、（ ｋ ６ ） n −（ ｋ−１ 　６ ） n 　　となる。

二項定理