等差・等比数列とΣ(例題no.1)
　
数列 ｆm＝ ｍ
.６		 は、次の条件を満たす。ａ＜ ｍ
.６		 ＜ｂ ，　ａ，ｂ，ｍは自然数で、ｍ と ６ は互いに素である。
この条件を満たす数列 ｆm の和を求めよ。
　　　解答例
　　　　　ａ＝ ６ａ
..６		 ，ｂ＝ ６ｂ
..６		 　と考えて、 ６ａ
..６		 ， ６ａ＋１
. 　６		 ， ６ａ＋２
.　 ６		 ，・・・， ６ｂ－２
.　 ６		 ， ６ｂ－１
.　 ６		 ， ６ｂ
..６		 　のなかで、
　　　　既約分数になるのは、ｍ＝６ａ＋１，６ａ＋５，６ａ＋７，６ａ＋１１，・・・，６ｂ－５，６ｂ－１　のときである。
　　　　この数列を奇数番目と偶数番目に分けると、
　　　　奇数項は、６ａ＋１，６ａ＋７，６ａ＋１３，・・・，６ｂ－１１，６ｂ－５
　　　　偶数項は、６ａ＋５，６ａ＋１１，６ａ＋１７，・・・，６ｂ－７，６ｂ－１　　となる。
　　　　[ア]　奇数項について
　　　　　　　 初項は ６ａ＋１ 、公差は６　なので、６ｂ－５＝６ａ＋１＋６（ｂ－ａ－１）　と末項が表せるから、
　　　　　　　 項数は、ｂ－ａになる。この数列の和をＳ1とすると、
　　　　　　　Ｓ1＝ １
２		 （ｂ－ａ）（６ａ＋１＋６ｂ－５）＝（ｂ－ａ）（３ａ＋３ｂ－２）

　　　　[イ]　偶数項についても同様に考えて、この数列の和をＳ2とすると、

　　　　　　　Ｓ2＝ １
２		 （ｂ－ａ）（６ａ＋５＋６ｂ－１）＝（ｂ－ａ）（３ａ＋３ｂ＋２）
　　　　以上[ア]，[イ] より、求める和は、 １
６		 （Ｓ1＋Ｓ2）＝ １
６		 （ｂ－ａ） { （３ａ＋３ｂ－２）＋（３ａ＋３ｂ＋２） }
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝ｂ2 －ａ2


　　　ここでは、余事象で考えるとかえって面倒になります。２，３と互いに素な整数列は偶数項、奇数項と別々に扱います。
　　　次の例題はこれの応用です。

６ と互いに素な整数列の第ｎ 項までの和をＳn とするとき、を ｎ で表しなさい。
解説
　　　数列を考えると、前問と同様な数列になります。（分母がないだけ）
　　　奇数項は、１，７，１３，・・・，　　偶数項は、５，１１，１７，・・・，　　のような数列です。
　　　奇数項は ａ2k-1（初項の番号を １ からはじめるのでａ2k-1とします。ａ2k+1とは表しません。）
　　　偶数項は ａ2kのような形式で表します。
　　ａ2k-1，ａ2kの一般項が ｋ を用いてどのように表せるか、また、Ｓn において、ｎ が偶数か奇数かで変わります。

解答例
　　　奇数項を ａ2k-1，偶数項をａ2k，とすると、ａ2k-1＝１＋６（ｋ－１）＝６ｋ－５，ａ2k＝６ｋ－１　となる。
　　　ここで、Ｓn において、ｎ＝２ｋ となる偶数なら奇数項・偶数項はそれぞれ ｋ 個づつある。
　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ＝２ｋ－１ となる奇数なら奇数項は ｋ 個、偶数項は ｋ－１ 個ある。
　　　［Ⅰ］ｎ＝２ｋのとき
　　　　　　Ｓ2k＝（ａ1＋ａ3＋ａ5＋・・・＋ａ2k-3＋ａ2k-1）＋（ａ2＋ａ4＋ａ6>＋・・・＋ａ2k-2＋ａ2k）
　　　　　　　　＝ ａ2ｊ-1＋ ａ2ｊ＝ （ａ2ｊ-1＋ａ2ｊ）　　　個数がともにｋ個なのでまとめる。文字のｎ，ｋ，ｊ に注意
　　　　　　　　＝ （６ｊ－５＋６ｊ－１）
　　　　　　　　＝ （１２ｊ－６）＝６ｋ（ｋ＋１）－６ｋ＝６ｋ2

　　　ここで、ｎ＝２ｋ だから、ｋ＝ ｎ
２		 　を代入して、
　　　　　　　　＝ ３
２		 ｎ2

　　　［Ⅱ］ｎ＝２ｋ－１のとき
　　　　　　Ｓ2k－１＝（ａ1＋ａ3＋ａ5＋・・・＋ａ2k-3＋ａ2k-1）＋（ａ2＋ａ4＋ａ6＋・・・＋ａ2k-2）　　を考えて
　　　　　　［Ⅰ］と同じように計算してもよいのだが、
　　　　　　Ｓ2k－１＝Ｓ2k－ａ2k
　　　　　　 　　 　＝６ｋ2－（６ｋ－１）
　　　　　　　　　　ここで、ｎ＝２ｋ－１ より　ｋ＝ ｎ－１
　 ２		 　を代入して、
　　　　　　Ｓ2k－１＝ ３
２		 （ｎ－１）2

－３（ｎ－１）＋１＝ ３
２		 ｎ2

－６ｎ＋ １１
..２



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