等差・等比数列とΣ(no.1)

等差数列（ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃａｌ　ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ）略して、ＡＰと書きます。 　　　　　　　ａ1　 ａ2　 ａ3　 ａ4　 ａ5　・・・・・　ａn-1　ａn　　　 　 　　　 　 　┗┛┗┛┗┛┗┛┗　　 　　 ┛┗━┛ 　　　　　　　　ｄ　　ｄ　　ｄ　　ｄ　　　　　　　　　　　ｄ　　　　　　のように、同じ間隔 ｄ で並んだ数列の　 　　　ｎ番目の項は、ａｎ＝ａ＋（ｎ−１）ｄ　・・・ [1]　　となりますが、この式の成り立つ仕組みを考え下さい。 　 　ａ1 〜 ａn までの間で、ｄ が ｎ−１ 個あります。簡単に考える為に、ｄ づつ増えていると考えて下さい。 　 　 �@ の一般項を表す式が理解できるとと思います。 　　 高等数学では多くの公式がありますが、その公式を導く過程をまず考えるようにして下さい。 　　 考えてみれば、あたりまえの公式が、かなりあります。

和の公式　Ｓn＝ ｎ｛２ａ1＋（ｎ−１）ｄ｝ 　　　　　２　　　　　 ・・・[2]，とＳn＝ ｎ（ａ1＋ａn） 　 　２　　　 ・・・[3]　については、教科書をよく読んで下さい。 　　 きっと、納得できると思います。なお、この和の公式[3] に、[1] を代入することで [2] を導けます。

また、等差数列を表す関係式として、　ａn＝ａn-1＋定数　　も理解して下さい。

等比数列（ｇｅｏmetｒical　ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ）略して、ＧＰと書きます。 　　　一般項の考え方は等比数列と同じです。 　　　和の公式の導き方は、この後に出てくる、等差・等比混合形の和を求めるのに利用しますので必ず 　　　マスターして下さい。 　　例題　次の式を展開しなさい。 　　　　　　（１）　（Ｘ−Ｙ）（Ｘ＋Ｙ） 　　　　　　（２）　（Ｘ−Ｙ）（Ｘ 2 ＋ＸＹ＋Ｙ 2 ） 　 　 　　　　　　（３）　（Ｘ−Ｙ）（Ｘ 3 ＋Ｘ 2 Ｙ＋ＸＹ 2 ＋Ｙ 3 ） 　 　　　　　　（４）　（Ｘ−Ｙ）（Ｘ 4 ＋Ｘ 3 Ｙ＋Ｘ 2 Ｙ 2 ＋ＸＹ 3 ＋Ｙ 4 ） 　　　　計算結果と等比数列と関係があります。 　　　　　（１）Ｘ 2 −Ｙ 2 　　（２）Ｘ 3 −Ｙ 3 　　（３）Ｘ 4 −Ｙ 4 　　（４）Ｘ 5 −Ｙ 5 　　　 　　となります。 ここで 　 　（Ｘ−Ｙ）（Ｘ n-1 ＋Ｘ n-2 Ｙ＋Ｘ n-3 Ｙ 2 ＋・・・＋Ｘ 2 Ｙ n-3 ＋ＸＹ n-2 ＋Ｙ n-1 ）＝Ｘ n −Ｙ n 　となることが推定できます。 　 　 　　　　Ｘ n-1 ＋Ｘ n-2 Ｙ＋Ｘ n-3 Ｙ 2 ＋・・・＋Ｘ 2 Ｙ n-3 ＋ＸＹ n-2 ＋Ｙ n-1 　に等比数列の和の公式を当てはめます。 　　　　 　　　　　　(簡単にする為に Ｘ≠０，Ｙ≠０，Ｘ≠Ｙ とします。)

この部分は、公比 Ｙ Ｘ 　項数ｎ　の等比数列の和になるので、(逆から見て、公比 Ｘ Ｙ としてもよい) 　　　項数は、ＸかＹの次数を利用して判断してください。ｎ−１が項数ではありません。 　　　　Ｘ n-1 ＋Ｘ n-2 Ｙ＋Ｘ n-3 Ｙ 2 ＋・・・＋Ｘ 2 Ｙ n-3 ＋ＸＹ n-2 ＋Ｙ n-1 ＝ 　となります。 　　　さて、この分数の計算ですが、約分の逆の計算方法で簡単にします。分子・分母に Ｘ を掛けます。 　　　分母はＸ−Ｙ　分子は、｛ ｝の前のＸ n-1 に Ｘ を掛けて、Ｘ n として、｛｝を外すと、Ｘ n −Ｙ n 　　となります。 　　 ここで 　　（Ｘ−Ｙ）（Ｘ n-1 ＋Ｘ n-2 Ｙ＋Ｘ n-3 Ｙ 2 ＋・・・＋Ｘ 2 Ｙ n-3 ＋ＸＹ n-2 ＋Ｙ n-1 ）＝Ｘ n −Ｙ n 　　　となることが理解できると思います。このような繁分数(ハンブンスウ)の計算方法をマスタ−して下さい。

問題　　（１）初項 １ ２ ，公比 １ ２ 　の等比数列の第ｎ 項までの和を求めなさい。 　　　　　（２）初項 ３ ２ ，公比− １ ３ 　の等比数列の第ｎ 項までの和を求めなさい。

和の公式に当てはめるだけですが、繁分数の計算は避けられません。上手に計算しましょう。 　　解答例　（１）求める和は、 　と表せます。ここでは、分子の １ ２ と分母の１− １ ２ 　が同じなので、 　　　　　　　　　　　この部分を直ぐ約分します。その結果　１− ( １ ２ ) n 　となります。 　　　　　　　 　括弧のない、１− １ ２ n 　の様に表してはいけません。これでは、 １ ２ 全体の ｎ乗にはなりません。 　　　　　 　　　括弧をとって、１− １ ２ n 　と表すこともできます。（この表し方のほうがよい） 　　　　　　　 （２）求める和は、 　と表せます。ここでは、分子の ３ ２ と分母の１− (− １ ３ ) 　　　　　　　　　　の割り算を計算して、 ９ ８ とします。その結果　 ９ ８ ｛ １− (− １ ３ ) n ｝ 　となります。 　　　　　　　　　　これは、外の括弧を外してもあまりいい形にならないのでこれで終わりです。 　　　　　　　　　　内の括弧についても前にはでません。（−１） n 　が残ります。 　　　　　　　　　　また、繁分数の計算で、分子・分母に ６ を掛けて計算してもいいです。

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