等差・等比数列とΣ(no.2)
　
複利計算
　　お金を銀行などに預けるとき金利がつきます。仮に年利 ０．２％ で１０万円（元金）を1年間預けたとします。
　　1年経つと、１０万円の ０．２％ にあたる金額２００円が銀行から預金者に支払われます。この金利分の
　　２００円を１年前に預けた１０万円に上乗せして、１０万２００円を元金として、さらに1年間預けます。
　　次の年は、この１０万２００円の ０．２％ にあたる金額が銀行から預金者に支払われます。
　　このように、金利分を元金に加えて、預け続けるのが複利です。ふつう、これを元金成長といっています。
　　元金成長に対して、利息受け取りもあります。この場合は、元金は増えません（単利ともいいます）。
　　また、お金を借りた場合も同じように残金に対して金利がつきます。
　　（なお、実際は、税法で金利分の２０％が課税されますが、ここでは課税を考えていません。以下の例題も同様です。）

例題１　１０年前に年利 ５．２％ で１０万円預けました。ちょうど今年、満期になります。満期の金額を求め
　　　　　なさい。（指数計算はwindowsに付属している電卓で計算できます。電卓を呼び出すには、
　　　　　左下のスタート・・・＞プログラム・・・＞アクセサリー・・・＞電卓）
　　　　　解答例
　　　　　この計算をするにあたり、１０万円を１０００００と表して計算しては行けません。単位の万を省略して
　　　　　計算してください。速く、正確に計算するコツは、小さい数字で計算することです。
　　　　　１０×１．０５２10＝１０×１．６６０１８８・・・＝１６．６０１８８・・・　となり、単位の万円を考慮すると、
　　　　　　　　　　　　１６万６０１８．８・・・円となります。ここで、端数は切り捨てられるので、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　受け取る金額は、１６万６０１８円　になります。

　　　　　ここで、利息の端数処理が１年毎に行なわれたらどうなるでしょうか？
　　　　　この場合ですと、元金の１０万円は１年後に　１０×１．０５２＝１０．５２万円　（まだ、端数はありません）
　　　　　　　　次の１年後（預け入れ時から２年後）に　１０．５２×１．０５２＝１１．０６７０４万円
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ここで、端数の４は切り捨てられ　１１万６７０円　になります。
　　　　　　　　これを後８回繰り返すと、１６万６０１２円　になります。


ちょっと横道にそれましたが、お金の積み立てについて考えます。（課税と端数の処理は考えないで下さい。）
例題２　　年利 ５．２％ で１０万円毎年４月１日に預けます。今年が西暦２０００年ですから、西暦２００５年の
　　　　　　４月１日にはいくら受け取ることになりますか。（最後の年の２００５年は預けません）

解答例
　　　２０００年に預けた１０万円は２００１年、２００２年、２００３年、２００４年、２００５年の５年間の金利が
　　　　　　　　　　付くので、１０Ｘ１．０５２5円　になります。
　　　２００１年に預けた１０万円は２００２年、２００３年、２００４年、２００５年の４年間の金利が
　　　　　　　　　　付くので、１０Ｘ１．０５２4円　になります。
　　　２００２年に預けた１０万円は２００３年、２００４年、２００５年の３年間の金利が
　　　　　　　　　　付くので、１０Ｘ１．０５２3円　になります。
　　　２００３年に預けた１０万円は２００４年、２００５年の２年間の金利が
　　　　　　　　　　付くので、１０Ｘ１．０５２2円　になります。
　　　２００４年に預けた１０万円は２００５年の１年間の金利が
　　　　　　　　　　付くので、１０Ｘ１．０５２1円　になります。
　　　これらの合計金額です。
　　　　１０Ｘ１．０５２1＋１０Ｘ１．０５２2＋１０Ｘ１．０５２3＋１０Ｘ１．０５２4＋１０Ｘ１．０５２5
　　　　　＝１０Ｘ１．０５２Ｘ １０．５２Ｘ １．２８８４８－１
　　 ０．０５２		 ＝５８．３６２３万円


もう１題、等差と等比の混合の和です。計算方法は等比数列の和の求め方と同じです。

例題３　　（１）　１・１＋２・２＋３・２2＋・・・＋ｎ・２n-1　　を計算しなさい。
　　　　　　（２）　１・X＋２・Ｘ2＋３・Ｘ3＋・・・＋ｎ・Ｘn　　　を計算しなさい。（Ｘの値により場合分け）　
解答例
　　　　（１）　Ｓ＝１・１＋２・２＋３・２2＋４・２3＋・・・・・＋ｎ・２n-1　　　　　　　　　　　　とおく。
　
　　　　　　２Ｓ＝１・２＋２・２2＋３・２3＋・・・＋(ｎ－１）・２n-1＋ｎ・２n
　　　　　　　　（次数をそろえて書いたら引き算がし易い。文字の計算と同じで係数の引き算だけです）
　　　　　　Ｓ－２Ｓ＝１＋２＋２2＋２3＋・・・＋２n-1－ｎ・２n　（最後の項に注意）　　　
　　　　　　　　　よって　　－Ｓ＝ －ｎ・２n

＝（－ｎ＋１）２n

－１　　より　　Ｓ＝（ｎ－１）２n

＋１
　　　　（２）　Ｓ＝１・X＋２・Ｘ2＋３・Ｘ3＋４・Ｘ4＋・・・・・・・・・＋(ｎ－１）・Ｘn-1＋ｎ・Ｘn　　・・・[ア]
　　　　　　 ＸＳ＝１・Ｘ2＋２・Ｘ3＋３・Ｘ4＋４・Ｘ4＋・・・＋(ｎ－２）・Ｘn-1＋（ｎ－１）・Ｘn＋ｎ・Ｘn+1　　・・・[イ]　
　　　　　　より、辺々引くと、
　　　　　　　（１－Ｘ）Ｓ＝Ｘ＋Ｘ2＋Ｘ3＋Ｘ4＋・・・・・・・・・＋Ｘn-1＋Ｘn－ｎ・Ｘn+1　　・・・[ウ]
　　　　　　厳密には、[イ] の等式は、[ア] と同値でない。Ｘ≠０ の制限を付加することで同値になる。しかし、[ウ] において、Ｘ＝０
　　　　　　　 とすると　Ｓ＝０　となり、[ア]においての Ｘ＝０ と一致する。つまり、等式[ア]と等式[ウ]は同値であることになる。
　　　　　　　 計算課程で同値でないものを用いて導いた結果が同値になっていることに注意してもらいたい。
　　　ここで、Ｘ＝１とＸ≠１の場合について考える必要がある。この場合分けの根拠は、[ウ]の等式をＳ＝・・・・
　　　と解くときに分母に １－Ｘ という式になるからである。または、右辺の等比数列の部分の和の計算式にお
　　　いて、分母から考えてもよい。どちらにしても、式で割るときは、≠０　とする必要がある。
　　　　　［ⅰ］Ｘ≠１のとき
　　　　　　　　（１－Ｘ）Ｓ＝ 　 Ｘ　.
１－Ｘ		 ( １－Ｘn

 ) －ｎ・Ｘn+1

 ＝ 　 １　.
１－Ｘ		 ｛ Ｘ－Ｘn+1

 －ｎ（１－Ｘ）Ｘn+1

 		}
　　　　　　　　　　　　　　＝ 　 １　.
１－Ｘ		 ｛ Ｘ－（１＋ｎ）Ｘn+1

 		＋ｎＸn+2

 ｝
　　　　　　　　　　　よって、Ｓ＝ 　　１ 　　.
(１－Ｘ)2
｛ Ｘ－（１＋ｎ）Ｘn+1

 		＋ｎＸn+2

 ｝ 　となる。入力の都合で分子にまとめていません
　　　　　［ⅱ］Ｘ＝１のとき　（Ｘ＝１ を［ⅰ］の結果に代入して Ｓ＝０ としてしまう間違いをよく見ます。）
　　　　　　　　　等式[ア]より、　Ｓ＝１＋２＋３＋４＋・・・・＋(ｎ－１）＋ｎ　　
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　＝ ｎ（ｎ＋１）
　　 ２

複利計算(返済)
返済についての説明が抜けていたので追加です。
例題
月利２％で１０万円借りました。月末に同じ金額を返済し５回でを完了します。１回の返済金額はいくらですか。
ただし、借りたのは、その月の１日とし、１回目の返済は、その月の月末とします。
　　　
　　　解答例
　　　　　　　毎月返済する金額をＸ万円とします。　
　　　　　　　１回目の返済時には、借りた１０万円に対して月利息２０００円がつきます。
　　　　　　　　　　　　　　　　ここで、Ｘ万円返済すると、残金は　　１０＋０．２－Ｘ　万円になります。
　　　　　　　　　　　　　　　　この式は、１０・１．０２－Ｘ　　と表せます。
　　　　　　　２回目の返済時には、残金 １０・１．０２－Ｘ 万円に対して月利息（１０・１．０２－Ｘ）・０．０２　万円
　　　　　　　　　　　　　　　　がついて、ここで、Ｘ万円返済すると、
　　　　　　　　　　　　　　　　残金は　　（１０・１．０２－Ｘ）・１．０２－Ｘ　万円になります。
　　　　　　　　　　　　　　　　この式は、１０・１．０２2－１．０２Ｘ－Ｘ　　と表せます。
　　　　　　　これを後 ３回繰り返します。（１回目，２回目の形から類推してください。）

　　　　　　　５回目に Ｘ万円返済すると残金は、
　　　　１０・１．０２5－１．０２4Ｘ－１．０２3Ｘ－１．０２2Ｘ－１．０２Ｘ－Ｘ 　　　と表せて、この値が０になるので、
　　　　　　　　　　　１０・１．０２5＝１．０２4Ｘ＋１．０２3Ｘ＋１．０２2Ｘ＋１．０２Ｘ＋Ｘ　　の関係式が導けます。

　　　　　　　この式の左辺は、１０万円を５年間預けた金額になっており、右辺は、Ｘ万円を積み立てるのと
　　　　　　　よくにています。（公比の次数が積み立てと異なっていることに注意）
　　　　　　　＊毎月返済しているのに、最初に借りた１０万円に対して五ヶ月分の金利がそのままついて、
　　　　　　　　 なんとなく損をした気がします。これなら、毎月返済せずに、毎月の返済額を預金して五ヶ月
　　　　　　　　 目に一括返済したほうが得なような気がしますが、預金の金利は貸付の金利より低いので、
　　　　　　　　 毎月返済すべきです。この様な金利の計算を知っておくと、将来役立ちます。
　
　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　Σについて