例題のページ
　

△ＡＢＣにおいて、∠Ｂ＝３０゜，ＢＣ＝１＋

，ＡＣ＝

 である。残りの辺、角を求めよ
　解答例の前に一言
　　　この問題に限らず、数学ではまず図を描いて概形を把握することが大切です。つまり、
　　　手を動かして、目で見てイメージをつかんで、頭で考える。
　
ⅰ) 線分ＢＣを引く
ⅱ) ∠Ｂ＝３０゜となる直線を引きます。角の大きさは適当でよいが、
　　　３０゜ぐらいに見える程度の線にする。どう見ても３０゜ぐらいに
　　　は見えないような線は引かないように。
ⅲ) 点Ｃを中心に半径が の円を描く。
　　　　　　　　　　　　　　　このように、ある程度正確な図を描くことで、だいだいの形が掴めます。
解答例
　　　∠Ｂを用いる余弦定理から　　２＝(１＋ )2＋ＡＢ2－２(１＋ )ＡＢｃｏｓ３０゜
　　　　　　よって、ＡＢ2－(３＋ )ＡＢ＋２(１＋ )＝０　・・・①
　　　　　　　　　　①のような形(ABについて降べきの順)に整理するとき、むやみに展開
　　　　　　　　　　してはいけない。ＡＢ2の項、ＡＢの項、定数項と分けて計算する。
　　　　　　　　　　また、①は因数分解できます。

　　　　　　　(ＡＢ－２)(ＡＢ－１－

)＝０　　よって　ＡＢ＝２，１＋

　　　上の図から　ＡＢ＝２のとき、点ＡはＡ’になり、ＡＢ＝１＋

 のとき、点ＡはＡ’’になる。
[Ⅰ]　ＡＢ＝２のとき　　Ａ’からＢＣに垂線を引くと、内角が　３０゜，６０゜，９０゜の直角三角形と、
　　　　　　　　　　　　　　４５゜，４５゜，９０゜の直角三角形ができるので　∠Ｃ＝４５゜、∠Ａ＝１０５゜
[Ⅱ]　ＡＢ＝１＋ のとき　三角形ＡＢＣはＡＢ＝ＢＣの二等辺三角形になるので　∠Ｃ＝∠Ａ＝７５゜


[Ⅰ]と[Ⅱ]で、残りの∠Ａ，∠Ｃを求めるときに正弦定理・余弦定理を利用しないように ! !
簡単に求めれる方法を見つけ出すことが数学の実力を高めます。
　
正の数ａ，ｂ，ｃが、三角形の３辺となる条件
［考え方ⅰ］定規とコンパスを使って三角形を描くときの方法を思い出してください。
　　　　　　　まず、一辺を選んでその長さの線分を引きます。次に、この線分の両端から残りの２辺の
　　　　　　　長さを半径とする円を描きます。この二つの円が交われば三角形ができます。
　　　　　　　つまり、三角形ができる条件と、二つの円が交わる条件は同じであることになります。

［考え方ⅱ］余弦定理を用いて示します。
　　　　　　　ｃｏｓＡ＝ ，－１＜ｃｏｓＡ＜１　（０゜＜Ａ＜１８０゜なので等号は付かない）より
　　　　　　　－１＜ ＜１　ｂ，ｃは正なので　－２ｂｃ＜ｂ2

＋ｃ2

－ａ2

＜２ｂｃ 　を変形して、
　　　　　　　ｂ2＋ｃ2

－２ｂｃ＜ａ2＜ｂ2＋ｃ2＋２ｂｃ　　より　　|ｂ－ｃ|＜ａ＜ｂ＋ｃ　が得られる。