・不等式(相加・相乗)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　LEVEL-Ⅰ


問題Ⅰ　Ｘ 2

 ＋Ｘ＋ 　　　 １　　　1
X 2 ＋Ｘ＋１
の最小値を求めよ。また、そのときのＸの値も求めよ。
　 　 　 　
解答例　　　X 2

 ＋Ｘ＋１＝(Ｘ＋ １
２		 ) 2

 ＋ ３
４		 ≧ ３
４		 ・・・①　 であるから、X 2

 ＋Ｘ＋１は常に正である。
　　　　　　　相加平均≧相乗平均の関係を用いて
　　　　　　　　　　　　　　(X 2

 ＋Ｘ＋１)＋ 　 　 １ 　 　.
X 2 ＋Ｘ＋１
≧２ ＝２　・・・②
　　　　　　　　　ここで，等号成立は　X 2

 ＋Ｘ＋１＝ 　　　１　　　.
X 2 ＋Ｘ＋１
　のときであるから
　　　　　　　　　　　　 　　　　X 2 ＋Ｘ＋１＝１(条件①より)　つまり　　Ｘ＝０，１　のとき
　　　　　　　　　　　　　　　　以上より，Ｘ＝０，１のとき最小値１となる。



POINT　　　・相加平均・相乗平均が利用できる形を見つける
　　　　　　　・Ｘ 2 ＋Ｘ＋１を適当な文字で置き換えてもよいが，これを一つの塊と考える。
　　　　　　　　一つの塊と考えるようになると，数式の計算処理は楽です。
　　　　　　　・本問で分母がＸ 2 ＋Ｘ＋２の場合⇒LEVEL-Ⅱ