三角関数(種々の公式)-no1

加法定理、倍角、半角、和→積、積→和、合成、と多くの公式がありますが、すべて加法定理から発展したもの ですから、加法定理をどのように扱って導いたかを知ることから勉強を始めてください。この過程を知ることで、 数式の関連付けが強まって、実力を高めます。また、加法定理は、理屈抜きで、覚えてください。 文系選択者で数学がセンター試験のみの人は、加法定理、倍角、半角、合成、を確実にマスターして下さい。 その他の人は、和→積、積→和、までマスターして下さい。特に、理系では、和→積、積→和、が出来ないと、 微分・積分で苦労します。 加法定理でよくする間違い 　　ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎα＋ｓｉｎβ　括弧を外す計算をしてしまう。ｓｉｎ(α＋β)はｓｉｎ×(α＋β)ではありません。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 f (Ｘ) と同じで、ｓｉｎα，ｃｏｓα，ｔａｎα，などの ｓｉｎ，ｃｏｓ，ｔａｎ，関数記号です。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例として、ｓｉｎ(６０゜＋３０゜) で考えます。(　　)内を計算すれば、９０゜ですから、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　ｓｉｎ(６０゜＋３０゜)＝ｓｉｎ９０゜となります。ｓｉｎ９０゜＝１です。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　ｓｉｎ６０゜＋ｓｉｎ３０゜＝ ＋ １ ２ 　となり間違いが確認できます。 　　　　　　このような計算方法が正しか、どうか判断できるようになることも大切です。

例題　ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎα＋ｓｉｎβ　が成り立つときα，βの関係式を求めよ。（α，βは一般角）

解答例 　　　　　　　　　　ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎ２ α＋β 　 ２ ＝２ｓｉｎ α＋β 　 ２ ・ｃｏｓ α＋β 　 ２ （倍角の公式です。θ＝ α＋β 　 ２ ） 　　　　　　　　　　ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＝２ｓｉｎ α＋β 　 ２ ｃｏｓ α−β 　 ２ 　(和→積公式) であるから、 　　　　　　　　　　ｓｉｎ(α＋β)−（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝２ｓｉｎ α＋β 　 ２ ・( ｃｏｓ α＋β 　 ２ −ｃｏｓ α−β 　 ２ ) ＝０ 　　　　　　　　　　よって、ｓｉｎ α＋β 　 ２ ＝０ 　・・・[�T]　　　ｃｏｓ α＋β 　 ２ −ｃｏｓ α−β 　 ２ ＝０　・・・[�U] 　　　　　　　　　　［�T］の場合　　 α＋β 　 ２ ＝１８０゜×ｎ 　　　　　　　　　　[�U] の場合　　ｃｏｓ α＋β 　 ２ −ｃｏｓ α−β 　 ２ ＝−２ｓｉｎ α .２ ｓｉｎ β .２ ＝０　となるので 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. α .２ ＝１８０゜×ｎ ，ｏｒ　 β .２ ＝１８０゜×ｎ 　　　　　　　　以上のことから求める条件は、α＝３６０゜×ｎ ，β＝３６０゜×ｎ ，α＋β＝３６０゜×ｎ

合成 これは、加法定理の応用ですが、逆の計算をしているだけですので、この仕組みを理解して下さい。 数学ではこのような、逆の計算を理解することがよくあり、これができるようになることが大切なのです。 　　ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ＝ｓｉｎ（α＋β） ，ｃｏｓαｓｉｎβ−ｓｉｎαｓｉｎβ＝ｃｏｓ（α＋β） 　　ｓｉｎαｃｏｓβ−ｃｏｓαｓｉｎβ＝ｓｉｎ（α−β） ，ｃｏｓαｓｉｎβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ＝ｃｏｓ（α−β） 　　普通は、ｓｉｎ の合成ですが、ｃｏｓ の合成も理解してください。 （�T）　（ｓｉｎα）・ ＋（ｃｏｓα）・ １ ２ 　について考えます。まず、 ＝ｃｏｓ３０゜， １ ２ ＝ｓｉｎ３０゜　なので、 　　　　与式＝ｓｉｎαｃｏｓ３０゜＋ｃｏｓαｓｉｎ３０゜＝ｓｉｎ（α＋３０゜）　　 　　　　次にこれを ｃｏｓ で合成します。このとき、項の順番を入れ替えて考えたら理解し易い。 　　　　（ｃｏｓα）・ １ ２ ＋（ｓｉｎα）・ ＝ｃｏｓαｃｏｓ６０゜＋ｓｉｎαｓｉｎ６０゜＝ｃｏｓ（α−６０゜） 　　　また、これらは　（ｓｉｎα）・ −（ｃｏｓα）・ （ − １ ２ ） 　 ， （ｃｏｓα）・ １ ２ −（ｓｉｎα）・ （ − ） 　として、 　　　　　　　　ｓｉｎ（α−３３０゜） ，　ｃｏｓ（α＋３００゜）　のようにも合成でます。 　　　　　　　　これらは、前の結果と違うようですが、３３０゜と同じ動径が−３０゜ ，３００゜と同じ動径が−６０゜ 　　　　　　　　であることから同一の結果であることが理解できます。

係数の平方和が １ でない場合の説明