三角関数(種々の公式)-no2

（�U） ｓｉｎθ−ｃｏｓθ を合成します。 　　　　係数の平方和が、この例題では、４ になります。この平方和の正の平方根で全体をくくります。 　　　　与式＝２ ( ｓｉｎθ− １ ２ ｃｏｓθ ) ・・・[ア]　になります。後は、括弧内の式を合成するだけです。 　　　　ここでも、ｓｉｎ，ｃｏｓどちらでも合成できます。（�@）は ｓｉｎ の合成、（�A）は ｃｏｓ の合成です。 　　（�@）　まず、 をｃｏｓ、 １ ２ をｓｉｎ　で表します。このとき、角度を同じものにして下さい。 　　　 る ＝ｃｏｓ３０゜， １ ２ ＝ｓｉｎ３０゜と表せるので、[ア]式の と １ ２ を、ｃｏｓ３０゜，ｓｉｎ３０゜に書き替えます。 　　　　　　　与式＝２ ( ｓｉｎθ・ｃｏｓ３０゜−ｃｏｓθ・ｓｉｎ３０゜ ) ＝２ｓｉｎ（θ−３０゜） 　となります。 　　　　前ページと同様に、符号を含めて、考えることもできます。 ＝ｃｏｓ３３０゜，− １ ２ ＝ｓｉｎ３３０゜となり 　　　　　　　与式＝２ ( ｓｉｎθ・ｃｏｓ３３０゜＋ｃｏｓθ・ｓｉｎ３３０゜ ) ＝２ｓｉｎ（θ＋３３０゜） 　となります。 　　　　　結果は違いますが、−３０゜の動径と３３０゜の動径は同じなので、この二つの結果は同一です。 　　　　　また、最初から ＝ｃｏｓ（−３０゜），− １ ２ ＝ｓｉｎ（−３０゜）　と表わせば最初の結果になります。 　　（�A）　 ＝ｓｉｎ１２０゜、− １ ２ ＝ｃｏｓ１２０゜　（符号を含めていますが含めなくてもできます。） 　　　　　　　与式＝２ ( ｃｏｓθ・ｃｏｓ１２０゜＋ｓｉｎθ・ｓｉｎ１２０゜ ) ＝２ｃｏｓ（θ−１２０゜） 　となります。 　　　　　また、与式＝−２ ( １ ２ ｃｏｓθ− ｓｉｎθ ) ・・・[イ]　としても合成できます。試してみてください。 　　　　　　　　　　　　結果を展開して、元の式になっていればその計算はあっています。 　　合成は、一通りでないこととを知って下さい。また、ｓｉｎ，ｃｏｓ　どちらでも合成できるようになって下さい。 　　合成は、かなり高い確率でセンター試験に出題されています。

問題　（１）　ｓｉｎθ− ｃｏｓθ＝１　を解きなさい。ただし、−１８０゜＜θ≦１８０゜　とします。 　　　　（２）　ｓｉｎθ− ｃｏｓθ＞ 　を解きなさい。ただし、−１８０゜＜θ≦３６０゜　とします。

解答例 （１）　　ｓｉｎθ− ｃｏｓθ＝２ ( １ ２ ｓｉｎθ− ｃｏｓθ ) 　　　　　　　　　　　　　　　　＝２（ｓｉｎθ・ｃｏｓ６０゜−ｃｏｓθ・ｓｉｎ６０゜） 　　　　　　　　　　　　　　　　＝２ｓｉｎ（θ−６０゜）　　　　　　　　　　　　　　　となるので、 　　　　　　　　与えられた方程式は　　　ｓｉｎ（θ−６０゜）＝ １ ２ 　　となる。 　　　　また、−１８０゜＜θ≦１８０゜　より、　−２４０゜＜θ−６０゜≦１２０゜　であるから 　　　　　　　　　　　　　　　θ−６０゜＝−２１０゜，３０゜　　よって　　θ＝−１５０゜，９０ （２）　与えられた不程式は　　　ｓｉｎ（θ−６０゜）＞ 　　となる。 　　　　−１８０゜＜θ≦３６０゜　より、　−２４０゜＜θ−６０゜≦３００゜　の範囲で 　　　　　　　　　　６０゜＜θ−６０゜＜１２０゜　よって　１２０゜＜θ＜１８０ 　　　　　　（図の内側の青い線は負の回転方向、外側の青い線は負の回転方向 　　　　　　 を表します。求める範囲は、動径が赤い斜線の領域です。この場合 　　　　　　 負の回転領域には存在しません。正の回転領域だけです。）

動径が ２θ−６０゜のように、θの1次式で表された方程式、不等式は案外面倒ですが、基本事項 　　　融合になっているだけなので、一つ一つをよく考えれば、納得できるはずです。 　　　また、２θ−６０゜＝α と置換してもよいのですが、置換しないで式全体を一つとみなす様にして下さい。 　　　他の分野でも助言していますが、式をある塊として扱えるようになれば数学は、もっと簡単になります。 問題　０゜≦θ＜３６０゜の範囲で次の方程式を解きなさい。 　　　　.（１）　２ｓｉｎ 2 θ＋ｓｉｎθ−１＝０　　　　（２）　２ｓｉｎ 2 θ＋５ｓｉｎθ＋２＝０ 　　　　（３）　４ｓｉｎ 2 θ＋ （２＋２ ）ｓｉｎθ＋ ＝０

解答例 　（２）と（３）を間違えていました。訂正しています。すいませんでした。m（_ _）m 　　　　 （１）　（２ｓｉｎθ−１）（ｓｉｎθ＋１）＝０　　　より　　ｓｉｎθ＝ １ ２ ，−１ 　　　　　　　　　ｓｉｎθ＝ １ ２ 　　より　０゜≦θ＜３６０゜の範囲で　θ＝３０゜，１５０゜ 　　　　　　　　　ｓｉｎθ＝−１　より　０゜≦θ＜３６０゜の範囲で　θ＝２７０゜ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって　　θ＝３０゜，１５０゜，２７０゜　　　（解の個数は ３個） 　　　　 （２）　（２ｓｉｎθ＋１）（ｓｉｎθ＋２）＝０　　　より　　ｓｉｎθ＝− １ ２ ，−２　　０゜≦θ＜３６０゜の範囲で　 　　　　　　　　　ｓｉｎθ＝− １ ２ 　より　θ＝２１０゜，３３０゜　　　ｓｉｎθ＝−２　は不適である。 　　　　　　　　　　　　　　　よって　　θ＝２１０゜，３３０゜　　　（解の個数は ２個） 　　　　 （３）　（２ｓｉｎθ＋１）（２ｓｉｎθ＋ ）＝０　より　　ｓｉｎθ＝− １ ２ ，− 　０゜≦θ＜３６０゜の範囲で 　　　　　　　　　ｓｉｎθ＝− １ ２ 　より　θ＝２１０゜，３３０゜　　　ｓｉｎθ＝− 　より　θ＝２４０゜，３００゜ 　　　　　　　　　　　　　　　よって　　θ＝２１０゜，２４０゜，３００゜，３３０゜　　　（解の個数は ４個） 少し難しい例題のページ