ベクトルと複素数(公式の解説) 　　
　＊ をＯＡ と表しています。

　この分野は座標との関連が強い分野です。さらに複素平面から極座標にと発展していきます。（極座標は
　理系のみ学習します。）種々な座標の扱い方に慣れてください。
　
　また、ここでは、座標で扱った内分･外分の公式を頻繁に用いますので、この公式が苦手な人は、もう一度
　この公式の復習をして下さい。

例題Ⅰ
△ＡＢＣの辺 ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ をｍ：ｎ に内分する点をＰ，Ｑ，Ｒ とすると、
△ＡＢＣの重心と△ＰＱＲの重心は一致することをベクトルを用いて示せ。
　　　＊ベクトルの解法では、始点をどこにするかです。原点を始点にした位置ベクトル（普通はこれを位置ベクトルという場合
　　　　 が多い）を用いて示すか、問題内の適当な点を始点にした位置ベクトルで示すかです。

解答例
　　　　Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルをａ，ｂ，ｃ　とすると、Ｐ，Ｑ，Ｒ の位置ベクトルｐ，ｑ，ｒ は、
　　　　　ｐ ＝ ｎａ＋ｍｂ
　ｍ＋ｎ　		 ，ｑ ＝ ｎｂ＋ｍｃ
　ｍ＋ｎ		 ，ｒ ＝ ｎｃ＋ｍａ
　ｍ＋ｎ		 　となる。
　　　　　ここで、△ＰＱＲ重心の位置ベクトルは、 １
３		 （ｐ＋ｑ＋ｒ ）＝ １
３		 ( ｎａ＋ｍｂ
　ｍ＋ｎ		 ＋ ｎｂ＋ｍｃ
　ｍ＋ｎ		 ＋ ｎｃ＋ｍａ
　ｍ＋ｎ		 )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ １
３		 （ａ＋ｂ＋ｃ ）　　となり、△ＡＢＣの重心と一致する。
　　　　　　　　　　　　　　　　位置ベクトルを用いることで、記述が簡単になります


例題Ⅱ
円 （Ｘ－ａ）2＋（Ｙ－ｂ）2＝ｒ2 上の点（Ｘ1，Ｙ1）における接線の方程式をベクトルを用いて求めよ


　　＊　直線の「ベクトル方程式」ですが、言葉の重みに負けないようにして下さい。「ベクトル方程式」といっても関係式
　　　　　に過ぎません。この関係式は、図形的な性質から導かれるものが多いので、この点を再確認してください。

解答例
円の中心（ａ，ｂ）を点Ｃ，接点（Ｘ1，Ｙ1）をＰ，接線上の任意な点をＱ（Ｘ，Ｙ）
とする。
（ア）ＱがＰと異なる点の場合
　　　　ＰＣとＰＱは垂直なので、　ＰＱ・ＰＣ ＝０ 　となる。
　　　　ここで、ＰＱ＝（Ｘ－Ｘ1，Ｙ－Ｙ1），ＰＣ＝（ａ－Ｘ1，ｂ－Ｙ1）　　であるので、
　　　　　　　　　　　　（Ｘ－Ｘ1）（ａ－Ｘ1）＋（Ｙ－Ｙ1）（ｂ－Ｙ1）＝０　・・・［＊］
（イ）ＱがＰと同じ点の場合も関係式［＊］は成り立つ。
よって、接線の方程式は、　（Ｘ－Ｘ1）（ａ－Ｘ1）＋（Ｙ－Ｙ1）（ｂ－Ｙ1）＝０　　
となる。なおこれを変形して
（Ｘ－ａ）（Ｘ1－ａ）＋（Ｙ－ｂ）（Ｙ1－ｂ）＝ｒ2 と表せます。
参考までに
直線を定める要素として方向ベクトルと法線ベクトルがある。本問では法線ベクトルを用いている。
つまり、ＰＣ が法線ベクトルである。ちなみに方向ベクトルは、ＰＱ であるが、ここでは利用できない。
また、平面ならば方向はｔａｎθである。（Ｘの正の方向から計った角がθ）さらに空間になると、方向は、
方向余弦（ｃｏｓα，ｃｏｓβ，ｃｏｓγ）で定められる。
ここで一息（内分・外分点の公式について）
数学の苦手な人にとっては、この公式が、案外使いにくい
ようであるが、左の図を参考にして下さい。
四角形ＯＰＣＱは平行四辺形です。ＯＣ ＝ＯＰ ＋ＯＱ
であることは説明するまでもないと思います。
さて、中学の内容ですが、相似を思い出してください。
ＯＰ：ＰＡ＝ｎ：ｍ なので，ＯＰ ＝ 　 ｎ 　.
ｍ＋ｎ		 ＯＡ
ＯＱ：ＱＢ＝ｍ：ｎなので，ＯＱ ＝ 　 ｍ　.
ｍ＋ｎ		 ＯＢ
よって，ＯＣ ＝ 　 ｎ 　.
ｍ＋ｎ		 ＯＡ ＋ 　 ｍ　.
ｍ＋ｎ		 ＯＢ ＝ ｎＯＡ＋ｍＯＢ
　　ｍ＋ｎ　　		 ・・・［＊］
　　　　　　　外分についても同じように考えて、公式が成り立つことを確認してください。
　　　　　　　簡単な図形的な感覚が大切です。

ベクトル方程式
　　この言葉に戸惑う人がかなりいます。言葉の重みにとらわれないで、単に図形的な関係式に過ぎないと
　　考えてください。

　　まず直線ですが、上で説明した内分の公式そのものです。
　　この公式で、 　 ｎ 　.
ｍ＋ｎ		 ＝ｔ　とおけば 　 ｍ　.
ｍ＋ｎ		 ＝１－ｔ　となるので、ＯＣ ＝ｔＯＡ ＋（１－ｔ）ＯＢ 、・・・［＊＊］

　　と表せます。同じ式を文字式の表し方を変えることで全く違う式のように見えてしまうので、難しく考えて
　　しまうのでしょう。
　　また、この方程式［＊］，［＊＊］でベクトルＯＡ ，ＯＢ の係数の和が１になることに着目してください。

　　ここで、この方程式［＊］，［＊＊］は点Ｃの位置を表すベクトルなのに、どうして直線のベクトル方程式に
　　なるのか疑問を持つ人がいると思います。
　　ｍ，ｎ，ｔ が定数に固定されたなら点Ｃは定点になりますが、ｍ，ｎ，ｔ がいろいろな定数をとるなら、点Ｃ
　　はそれらの値によっていろいろな点に決められます。この点を集めれば直線になるのです。
　　Ｙ＝２Ｘ＋３　の方程式で、Ｘを定めればＹも一つ定まり点になり、Ｘをいろいろ変えれば点の集合になります。

　　直線のベクトル方程式を内分の公式から説明しましたが、もう一つの考え方があります。
　　Ｙ＝２Ｘ＋３　は傾き２，切片（Ｙ切片）３の直線ですが、傾き、切片の関係とよく似た考え方です。
　　ベクトルでは、傾きに方向ベクトルを、切片に定点を対応させると、定点を通ってある方向に延びる直線
　　になります。これをベクトルで表すと、ＯＰ ＝ＯＡ ＋ｋｕ 　となります。ここで、 Ｐは直線上の点、Ａは定点、
　　ｕ は方向ベクトルです。この関係式もまた、等式［＊＊］と同じです。（この説明は省略）

　　円のベクトル方程式
　　（Ｘ－ａ）2＋（Ｙ－ｂ）2＝ｒ2 が円の方程式ですが、この関係式の表す内容は、点Ｐ（Ｘ，Ｙ）と点Ｃ（ａ，ｂ）の
　　距離がｒ であることです。つまり二点間の距離にすぎないのです。
　　　　　　　　　　「定点からの距離が一定である点の集合は円」
　　これを座標成分をもちいて等式であらわしたものです。これをベクトルで表すと、｜ＰＣ｜＝ｒ　となります。

　　案外簡単ではないですか？
　
極形式と複素数
いままでの座標と唯一の違いが極形式です。三角関数と関連付けることで理解してください。
ここでは、座標の回転について説明します。
点Ａを原点の周りにθ 回転した点をＡ’とする。
点Ａ，Ａ’を表す複素数をａ，ａ’とし、ａｒｇａ ＝αとすると、
　　ａ ＝ｒ（ｃｏｓα＋ｉ ｓｉｎα），ａ’＝ｒ（ｃｏｓ(α＋θ)＋ｉ ｓｉｎ(α＋θ)）
となる。ここで、三角関数の加法定理により、
　　ａ’＝ｒ（ｃｏｓα ｃｏｓθ－ｓｉｎα ｓｉｎθ＋ｉ (ｓｉｎα ｃｏｓθ＋ｃｏｓα ｓｉｎθ)
　 　　 ＝ｒ（ｃｏｓα ｃｏｓθ＋ｉ 2ｓｉｎα ｓｉｎθ＋ｉ (ｓｉｎα ｃｏｓθ＋ｃｏｓα ｓｉｎθ）
　 　　 ＝ｒ（ｃｏｓα ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎα ｃｏｓθ＋ｉ 2ｓｉｎα ｓｉｎθ＋ｉ ｃｏｓα ｓｉｎθ）
　 　　 ＝ｒ｛ｃｏｓθ (ｃｏｓα＋ｉ ｓｉｎα)＋ｉ ｓｉｎθ (ｓｉｎα＋ｉ ｃｏｓα)｝
　 　　 ＝ｒ（ｃｏｓα＋ｉ ｓｉｎα）（ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎθ）　　
　　　　　　　　　　　　　　よって、　ａ’＝ａ （ｃｏｓθ＋ｉ ｓｉｎθ）　・・・（＊）　　となる。
　　　　　　　これを変形して、θ＝ａｒｇ ａ’
ａ		 ＝ａｒｇａ’－ａｒｇａ 　となりますが、（＊）の公式で解決できます。

　　



　 　 　 　 　 　 　 　　 　　　 例題