ベクトルと複素数(例題) 　　
　＊ をＯＡ と表しています。

例題−１
ＯＰ ＝ｍＯＡ ＋ｎＯＢ　で定まる点Ｐについて次の問いに答えよ。（ただし、三点Ｏ，Ａ，Ｂ は一直線上にない）
（１）ｍ，ｎ が ｍ＋ｎ≧２，ｍ＋２ｎ≦４，２ｍ＋ｎ≦４　の条件を全て満たすとき、点Ｐの存在範囲を示せ。
（２）前問（１）で定められる点Ｐに対して、ＯＱ ＝ＯＰ ＋ｋＯＢ （ただし、１≦ｋ≦２）　と表せる点Ｑの存在
　　 範囲を示せ。　
解答例
　　　一般的には、ｍＯＡ ＋ｎＯＢ ＝（ｍ＋ｎ） ｍＯＡ ＋ｎＯＢ
　　　ｍ＋ｎ		 　（ｍ＋ｎ≠０）として考えますが、
　　　ＯＡ ＝（１，０），ＯＢ ＝（０，１）として考えてみます。このように成分を定めると、ＯＰ ＝（ｍ，ｎ）　となり、
　　　点Ｐは、直交座標系の　Ｘ＋Ｙ≧２，Ｘ＋２Ｙ≦４，２Ｘ＋Ｙ≦４　　の表す領域になります。
　　　次に　ＯＡ ＝（２，０），ＯＢ ＝（０，１）　とすると、これは前記の内容をＸ軸方向に、二倍に拡大した領域に
　　　なります。（下の図を参考にして下さい。）
　　　　　

　　　つまり、ＯＡ ，ＯＢ　をそれぞれの座標軸の単位と考えればいいのです。
　　　この考え方は、直交座標系でなくても使えます。（斜交座標系といいます）

（２）　（１）の領域をＯＢ から２ＯＢ まで平行移動したもので五角形ＰＱＲＳＴの周とその内部である。

　　　


例題−２
点Ｐは点Ａを中心とする半径２の円周とその内部を動く。このとき、ＯＱ ＝３ＯＰ ＋２ＯＢ　で定まる点Ｑの
動く領域を答えよ。ただし、点Ｂは定点である。

解答例
　　　　点Ｐの動く領域は、|ＡＰ |≦２　・・・（＊）　と表せる。（点Ａと点Ｐの距離が２以下である）
　　　　ＯＱ ＝３ＯＰ ＋２ＯＢ　　よりる。

　　　　ＯＱ ＝３ＯＰ ＋２ＯＢ　　より　　ＯＰ ＝ １
３		 ＯＱ − ２
３		 ＯＢ　　よって　ＡＰ ＝ １
３		 ＯＱ − ２
３		 ＯＢ −ＯＡ　
　　　　　　　これを、（＊）に代入して、 | １
３		 ＯＱ − ２
３		 ＯＢ −ＯＡ | ≦２ 　
　　　　　　　　|ＯＱ −２ＯＢ −３ＯＡ｜≦６　・・・（＊＊）　（両辺３倍しただけですが、ＯＱの係数がポイントです。）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　慣れてしまえばこの段階で解答できますが、もう少し説明します。
　　　　　　　　定点と動点の距離が一定であれば、動点の軌跡は円になります。
　　　　　　　　距離がある値以下ならば、軌跡は円周とその内部になります。
　　　　　　　　普通、点Ａと点Ｂの距離は、ＡＢと表しますがベクトルでは、絶対値をつけて |ＡＢ | と表します。
　　　　　　　　ベクトルに限らず複素数でも同じ表し方ですが、絶対値は長さを表す記号なのです。

　　　　　　　ここで関係式（＊＊）において、２ＯＢ ＋３ＯＡ ＝ＯＣ 　とおけば、関係式（＊＊）は
　　　　　　　|ＯＱ −ＯＣ｜＝|ＣＱ | ≦６ 　と表せて、ＣＱの長さが６以下であることになるので、
　　　　　　　点Ｑは点Ｃを中心にした円周上とその内部を動くことになります。
　　　　　　　（ここで、点Ｃは ２ＯＢ ＋３ＯＡ ＝ＯＣ　となる点である。）