ベクトルと複素数(例題)

＊ をＯＡ と表しています。

例題−３ 複素平面上の互いに異なる３点 Ａ，Ｂ，Ｃ の表す複素数をそれぞれ、α，β，γ とするとき、 次のことを証明せよ。 （１）三角形ＡＢＣが正三角形のとき、α2＋β2＋γ2−αβ−βγ−γα＝０ 　　である。 （２）α2＋β2＋γ2−αβ−βγ−γα＝０ 　　が成り立つとき、三角形ＡＢＣは正三角形である。 （１）点Ｃ（γ）が原点にくるように平行移動したときのＡ（α），Ｂ（β）の移る点をＡ’（α’），Ｂ’（β’）とする。 　　　　このとき　α’＝β’（ｃｏｓ６０゜＋ｉ ｓｉｎ６０゜），または　α’＝β’（ｃｏｓ(−６０゜)＋ｉ ｓｉｎ(−６０゜)） 　　　　　よって、 α’ β’ ＝ １ ２ （１± ｉ ） 　より　 α’ β’ − １ ２ ＝± １ ２ ｉ　　　の両辺を平方して整理すると、 　　　　　（ α’ β’ ） 2 − α’ β’ ＋１＝０　　よって、 α’2−α’β’＋β’2＝０　　となる。 　　　　　　　　こごで、　　α’＝α−γ　，　β’＝β−γ　　であるから、 　　　　　（α−γ）2−（α−γ）（β−γ）＋（β−γ）2＝０　　となり、与式は成り立つ。　 （２）　与式は、（α−γ）2−（α−γ）（β−γ）＋（β−γ）2＝０　　と変形できる。 　　　　　　　また、Ａ，Ｂ，Ｃは全て異なる点なので、　β−γ≠０　であるから、（β−γ）2　で割って、 　　　. （α−γ）2 （β−γ）2 − （α−γ）（β−γ） 　　　（β−γ）2 ＋ （β−γ）2 （β−γ）2 ＝０　となり、 　　　これを　 α−γ β−γ 　の二次方程式と考えて解くと、 α−γ β−γ ＝ １ ２ （１± ｉ ） 　となる。 　　　これより、α はγ を中心にしてβ を、６０゜または−６０゜回転したものであるから、 　　　　　　　　　三角形ＡＢＣは正三角形になる。