座標平面(公式の解説)

ここでは、ｍ＞０，ｎ＞０，点Ａ（Ｘ1，Ｙ1），点Ｂ（Ｘ2，Ｙ2）とします。　　　　　　　　　　　　　 分点座標　　　　　　　ＡＢを ｍ：ｎ に内分する点の座標 （ ｍX2＋ｎX1 　 ｍ＋ｎ ， ｍＹ2＋ｎＹ1 　 ｍ＋ｎ ） 　　　　　　　　　　　　　 ＡＢを ｍ：ｎ に外分する点の座標 （ ｍX2−ｎX1 　 ｍ−ｎ ， ｍＹ2−ｎＹ1 　 ｍ−ｎ ） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　または、 （ −ｍX2＋ｎX1 　 −ｍ＋ｎ ， −ｍＹ2＋ｎＹ1 　 −ｍ＋ｎ ） 　　　　　　　　　　この公式は空間座標、ベクトルなとでも利用します。とても重要です。 　　　　　　　　　　また外分では、一方を負にすればいいので、内分の公式において、ｍを−ｍに置換するか、 　　　　　　　　　　または、ｎを−ｎに置換します。（分母が正になるように置換するのがよい） 直線の方程式　　　　Ｙ−ｙ座標＝傾き（Ｘ−ｘ座標）　　　の形で与えられます。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　微分の接線の方程式、法泉の方程式を求めるときも利用します。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これからは　Ｙ＝ａＸ＋ｂ 　を用いないようにして下さい。 　　　　　　　　　　　　　　また、　傾きは、 Ｙ1−Ｙ2 Ｘ1−Ｘ2 または、 Ｙ2−Ｙ1 Ｘ2−Ｘ1 　で与えられるので、 　　　　　　　　　　　Ｙ−Ｙ1＝ Ｙ1−Ｙ2 Ｘ1−Ｘ2 （Ｘ−Ｘ1） または、 Ｙ−Ｙ1＝ Ｙ2−Ｙ1 Ｘ2−Ｘ1 （Ｘ−Ｘ1） 　　となります。 　　　　　　　　　　　　　　　さらに、（Ｘ1，Ｙ1）のかわりに、，（Ｘ2，Ｙ2）を用いてもかまいません。 ２点の距離　　　ＡＢ＝ 　　この公式は、中学で習った三平方の定理にすきません。 　　　　　　　　　ＡＢを斜辺とする直角三角形を考えれば、直角をつくる二辺は、|Ｘ1−Ｘ2|と|Ｙ1−Ｙ2|になります。 　　　　　　　　　これは、どちらから引いてもいいのですが、大きいほうから引けば正になって楽です。 　　　　　　　　　また、円の方程式は、この距離公式に由来しています。（そのものと言ったほうがいいかも） 　　　　　　　　　同じ距離の公式でも、点と直線の距離公式もあります。この公式に限り、理屈より覚えてし 　　　　　　　　　まって下さい。 中点、重心の座標　　　　ＡＢの中点 （ X1＋X2 　 ２ ， Ｙ1＋Y2 　 ２ ） 　内分点の ｍ＝ｎ の場合です 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(よくするミスで分子を引いて長さにしています) 　　　　　点Ｃを（Ｘ3，Ｙ3）として、　　　△ＡＢＣの重心 （ X1＋X2＋X3 　　　３ ， Ｙ1＋Y2＋Y3 　 　 ３ ) 　　　　　　　　　　　中点、重心の座標は、Ｘ，Ｙ座標の平均になっていることに着目してください。 　　　　　　　　　　　また、分点と同じでこの考え方は、空間座標、ベクトルなとでも利用します。 二直線の垂直⇔傾きの積＝−１ （厳密には、Ｘ＝ａ，Ｙ＝ｂを考えていません） 　 左の図を参考にしてください。 まず、Ａ，Ｂを通る直線とＣ，Ｄを通る直線は垂直です。 また、図のようにＡＢ＝ＤＥ となるような二つの直角三角形 △ＡＢＣ と △ＤＥＦ　を考えます。このとき、△ＡＢＣ≡△ＤＥＦ　になります。 （合同になる理由は各自、考えてください） 直線ＡＢの傾きは、− ＢＣ ＡＣ ，直線ＤＥの傾きは、 ＤＦ ＥＦ になります。 　 △ＡＢＣ≡△ＤＥＦ　なので、ＡＣ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＥＦ　だから、 この二直線の傾きの積、− ＢＣ ＡＣ ・ ＤＦ ＥＦ ＝−１　となります。 この傾きの関係は、三角関数からでも説明できます。 直線の一般形を用いればこの組も代数的に処理できますが、 Ｘ＝ａ，Ｙ＝ｂ の組については、図から判断してください。 全てを代数的に処理してしまうのは、あまりよくないです。 （Ｘ＝ａの傾きは定義できません。あえていうなら±∞，Ｙ＝ｂの傾きは、０です）

例題