因数定理と高次方程式(PART-�T)

まず、２次式と２次方程式の違いについて、説明します。この区別がきっちり説明できる人は、案外少ない と思います。 ３Ｘ 2 −４Ｘ＋２，２Ｘ 2 ＋２Ｘ−１　・・・　などは２次式です。 ３Ｘ 2 −４Ｘ＋２＝０，２Ｘ 2 ＋２Ｘ−１＝０，３Ｘ 2 −４Ｘ＋２＝１，２Ｘ 2 ＋２Ｘ−１＝２　・・・　などが２次方程式です。 では、Ｙ＝３Ｘ 2 −４Ｘ＋２，Ｙ＝２Ｘ 2 ＋２Ｘ−１　などはどうでしょうか。じつは、これらも２次方程式なのです 。 厳密には、Ｘについての２次方程式 になるのです。（Ｙについての１次方程式にもなる。）普通このよような Ｘ と Ｙ の関係式を２次関数（放物線）の式といっていますが、厳密には２次関数の方程式といいます。 少し前置きが長くなりましたが、そろそろ本題の因数定理に入ります。 Ｘ 2 −３Ｘ＋２　を因数分解するとき、和が−３，積が２　になる整数の組を考 えて　（Ｘ−１）（Ｘ−２） ２Ｘ 2 −３Ｘ−２　を因数分解するとき、たすき掛けをして、（２Ｘ＋１）（Ｘ− ２）　　のようになります。つまり、 Ｘ 2 −３Ｘ＋２＝（Ｘ−１）（Ｘ−２），２Ｘ 2 −３Ｘ−２＝（２Ｘ＋１）（Ｘ−２）　と表せます。 では、３次式　Ｘ 3 ＋２Ｘ 2 −３Ｘ−２ の因数分解について考えていきます 。 このような３次式になると２次式のように”和と積”，”たすき掛け”が利用でません。では、どうやって因数分解 するのでしょうか？ もし、因数分解できたならどのような形になるか考えて下さい。１次式Ｘ２次式 ，１次式Ｘ１次式Ｘ１次式 のようになるはずです。だから、３次式を割りきることのできる １次式を見つければよいことになります。 Ｘ 3 ＋２Ｘ 2 −３Ｘ−２ を割りきることのできる １次式 Ｘ−α が存在したなら、 　　　　　　　　　　　　　Ｘ 3 ＋２Ｘ 2 −３Ｘ−２＝（Ｘ−α）Ｘ（適当な２次式）　・・・・（�@）　　 と表せます。ここで、説明を簡単ににする為に　αは整数とします。このとき、適当な２次式は整数係数にな ります。（αが有理数の場合も考えれますがここでは省略します。少し難しくなりますが興味のあるかはここ） ここから説明方法が２通りあります。少し長くなりますが、頑張って最後まで目を通してください。 [その�T] 　　　　（�@）の両辺にＸ＝αを代入すると　α 3 ＋２α 2 −３α−２＝０　となる整数αを見つけるのです。 　　　　　　　　　　　（解くのではありません。解けるぐらいなら因数分解できています。） 　　　　　　　　α 3 ＋２α 2 −３α＝２　　より　　α（α 2 ＋２α−３）＝２　　となり、αは整数なので 　　　　　　　　　　α＝±１，±２　の値が可能です。 [その�U] 　　　　（�@）の（適当な２次式）は整数　ｍ ，ｎ を用いて　Ｘ 2 ＋ｍＸ＋ｎ　と表せます。このとき、（�@）は 　　　　　　　　　　　　　Ｘ 3 ＋２Ｘ 2 −３Ｘ−２＝（X−α）・（Ｘ 2 ＋ｍＸ＋ｎ）　　となります。 　　　　　　　ここで、両辺の定数項に着目すると　　２＝αｎ　となり、α，ｎ は整数なので 　　　　　　　　　　α＝±１，±２　の値が可能です。 　　　　[その�T] ，[その�U]　から求められた可能性　α＝±１，±２　について調べます。 　　　　これ以降のやり方は、どの教科書にも載っているので各自の教科書を参考にして下さい。 　　 ここまでは、３次の係数が １ で考えましたが、３次の係数が １ でない場合はどうなるのでしょか？

では、最高次の係数が１でない場合について説明します。 例として　　３Ｘ 3 ＋Ｘ 2 ＋Ｘ−２ を因数分解してみましょう。　 前ページと同様に、これを割りきることのできる適当な 1次式を考えます。このとき、割られる式の最高次 の係数が１でないので、この1次式を　ａＸ−α　とおきます。（前ページと同様に ａ，αは整数） 　　　　　　３Ｘ 3 ＋Ｘ 2 ＋Ｘ−２＝（ａＸ−α）（ｂＸ 2 ＋ｃＸ＋ｄ）　　と表せます。ｂ，ｃ，ｄ　は整数 ここて゜、両辺の最高次と定数項から　　　ａｂ＝３，αｄ＝２　　　の関係式を得ます。　 また、最高次の係数は正に固定してもよいので、　ａ＝１，３　　 この場合ですと、Ｘ−α ，３Ｘ−α　が考えれます。さらに、αとしての可能性は、 α＝±１，±２　　があります。だから、ａＸ−α　としては、 Ｘ−１，Ｘ＋１，Ｘ−２，Ｘ＋２，３Ｘ−１，３Ｘ＋１，３Ｘ−２，３Ｘ＋２　の1次式が考えれます。つぎに、これらの式 で割り算を実行して、割りきることのできるものを探せばよいのですが、かなり面倒です。また、 　　　Ｘ＝１，−１，２，−２， １ ３ ，− １ ３ ， ２ ３ ，− ２ ３ 　を代入して式の値が０になるものを探します。 これも面倒です。少しでも速く、面倒な計算をしないで、求めるためには組み立て除法を薦めます。 この組み立て除法を用いると、順に調べることには変わりないのですが、割り算の実行より計算が簡単で、数値代入のような累乗計算などをしなくてすみます。これより先の計算は、各自の教科書などを参考にして下さい。 ３次以上の整式を因数分解するときは、これを割り切ることのできる 1次式として、 　　　　　　（最高次の係数の約数）Ｘ±定数項の約数　　　　　を考えてください。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　剰余定理