三角関数(例題)

三角方程式、ｃｏｓ２θ＋２ｓｉｎθ＝ａ　・・・[ア]　　　　について次の問いに答えよ。 （１）　方程式 [ア] が解を持つように ａ の値の範囲を求めよ。 （２）　０゜≦θ＜３６０゜とするとき、方程式 [ア] を満たすθの個数をａ の値によって分類せよ。

解答例 （１）　方程式 [ア] をＹ＝ｃｏｓ２θ＋２ｓｉｎθ・・・[イ] と Ｙ＝ａの連立方程　　　 式と考える。 　　　 倍角の公式より、[イ] は 　Ｙ＝−２ｓｉｎ 2 ＋２ｓｉｎθ＋１ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝−２ ( ｓｉｎθ− １ ２ ） 2 ＋ ３ ２ 　　　　ここで、−１≦ｓｉｎθ≦１ であるので、 　　　　これは右図の実線部である。 　　　　これと、Ｙ軸に垂直な直線である Ｙ＝ａ が 　　　　交点を持てばよいので、 　　　　求める ａ の範囲は、−３≦ａ≦ ３ ２ 　となる。

（２）　０゜≦θ＜３６０゜の範囲では、ｓｉｎθ＝１となるθは９０゜，ｓｉｎθ＝−１となるθは２７０゜　である。 　　　 これ以外の値α（−１＜α＜１）に対して、ｓｉｎθ＝αとなるθは２個定まる。 　　　 　　　　ａ＜−３ のとき　解なし 　　　 　　　　ａ＝−３ のとき　ｓｉｎθ＝−１となるので、θは９０゜の１個 　　　　　　−３＜ａ＜１のとき　ｓｉｎθ＝α（−１＜α＜１）となるαが１つ存在するので、θは２個 　　　　　　　　ａ＝−３ のとき　ｓｉｎθ＝１，０となり、θ＝０゜，９０゜，１８０゜　の３個 　　　　　　　１＜ａ＜ ３ ２ のとき　ｓｉｎθ＝α，β（−１＜α＜１，−１＜β＜１，α≠β）となるので、θは４個 　　　　　　　　　 ａ＝ ３ ２ のとき　ｓｉｎθ＝ １ ２ 　より、　θ＝３０゜，１５０゜　の２個　 　　　 　　　　 . ３ ２ ＜ａ のとき　解なし

例題　ｓｉｎθ，ｃｏｓθ，１ が三角形の ３辺となるようにθの範囲を一般角で求めよ。

ｓｉｎθ＞０・・・�@，ｃｏｓθ＞０・・・�A，１−ｃｏｓθ＜ｓｉｎθ＜１＋ｃｏｓθ・・・�B　となる。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（三角形ができる条件） 　　　　＊�Bの不等式を　　|ｓｉｎθ−ｃｏｓθ|＜１＜ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ　の様にしてもよいのだか、これだと絶対値を外すのに場合分け 　　　　　 がいる。ｓｉｎθ，ｃｏｓθは１以下であることを利用して場合分けのない不等式をつくる。 　　　�@，�Aよりθは第�T象限にある。 　　　�Bより、１＜ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ・・・［ア］　且つ　　ｓｉｎθ−ｃｏｓθ＜１・・・［イ］ 　　　　　　　　［ア］より、１＜ ｓｉｎ （θ＋４５゜）　　より　　４５゜＋３６０゜ｎ＜θ＋４５゜＜１３５゜＋３６０゜ｎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって　　３６０゜ｎ＜θ＜９０゜＋３６０゜ｎ 　　　　　　　　［イ］より、１＞ ｓｉｎ （θ−４５゜）　　より　　−２２５゜＋３６０゜ｎ＜θ−４５゜＜４５゜＋３６０゜ｎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって　　−１８０゜＋３６０゜ｎ＜θ＜９０゜＋３６０゜ｎ 　　　　　　　　　　以上から 　　　　　　　　　　　　　　　　　　３６０゜ｎ＜θ＜９０゜＋３６０゜ｎ （ｎは整数）　　　　となる。

不等式の解法に頼りましたが、ｓｉｎ

2

θ＋ｃｏｓ

2

θ＝１　なので、ｓｉｎθ，ｃｏｓθが共に正であれば、

ｓｉｎθ，ｃｏｓθ，１は直角三角形の３辺になる。これより、θの範囲を求めてもよい。