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最終更新日 2017.11.10                      To English 英語の解説のページへ

    数学の新しい定理(Mathematics : a new theorem.)
   格子多角形の面積を簡単に求められる
      -----下図の面積を求めるのに,十数秒(中学生)で求まります-----

              

1 定理の名称                        
   額賀の定理(ぬかが の ていり)
 
2 定理の発見者 
   額賀 博(ぬかが ひろし) Hiroshi Nukaga
   現在 (H30年度)茨城県鉾田市立上島西小学校長 )
 
3 定理を発見した時期と当時の勤務校
   平成2年8月
   茨城県鹿島町立鹿島中学校勤務時代(現:鹿嶋市立鹿島中学校)
 
4 定理の証明者(3人;3通り)
   額賀 博 発見者本人              帰納的な証明
   中谷 清茂 先生(長野県中学校教諭)   幾何学的な証明
   平井 安久 先生    (岡山大学)         代数的な証明

 証明のページへ  証明は左記をクリックして下さい。


5 定理の公式と上記の格子多角形の面積を求める計算例
     

  S = m + n / 2 

  S:格子多角形の面積
  m:完全な枠(格子1マス)の数(下図のピンクの枠)
  n:不完全な枠(1本の辺と格子枠に囲まれている枠)の数(下図のグリーンの枠)
  p:格子枠の線上でない2本の辺 と 格子枠に囲まれている枠(下図のブルーの枠)
   児童生徒には「枠の中に2本のへんがあって,その中の面積を求めるようになっている枠は数えない。」
   と言って絵を板書したところ小学校5年生〜中学3年生は十分理解してくれました。

 
  面積はm,nの枠の数をかぞえて公式に代入して計算するだけ。
  注意:pの枠を数えない。つまり,pの枠は全く無視する。ここが額賀の定理のポイントです。
 
6  格子多角形の面積の求め方(格子1マスを1単位面積とする)  
 
    m:完全な枠 (ピンクの枠)が3個

 
    n:不完全な枠 (グリーンの枠)が16個

 
   p:数えない枠 (ブルーの枠)が5個 


  S = m + n/2 = 3 + 16/2 = 3 + 8 = 11  となり 格子が11個分の面積となる。格子は正方形でなくてもよい。

 格子1マスが 1cm × 1cm = 1 cu (平方センチメートル) であるなら, 答え 11 cu (平方センチメートル) となる。

7 格子多角形を求める他の定理との関連

  世界的に有名な 「 ピックの定理 」 がある。
  この定理は格子多角形の点の数を数えて面積を出す。

  「 額賀の定理 」は,面を数えて面積を出すので,格子多角形はこれらの2通りの方法で面積を求められることとなった。

8 授業での扱い

  ・中学3年生の「三平方の定理」の導入
  ・課題解決学習

      この定理に関しての問い合わせはメールで額賀博までお願いします